【经典教材翻译】19-特征线法是计算超音速流动中等熵部分的非常方便的工具

特征线法Method of Characteristics是计算超音速流动中等熵部分的非常方便的工具。这是一种数值方法，但其优点在于该方法本身确定了它所需的网格（或网格）。其他CFD方法可以用于相同的目的，但这些需要更广泛的数值计算。

特征线法背后的数学理论基于前几节所示的等熵流动方程，特别是普朗特-迈耶函数Prandtl-Meyer function。

上述方程是流动无旋的陈述。这些控制方程形成了一组非线性的偏微分方程。解可以分类如下：

• 如果 ，则为椭圆型；

• 如果 ，则为抛物线型；

• 如果  ，则为双曲型。

马赫数大于1的超音速流动属于双曲型类Hyperbolic class。双曲方程的一个属性是存在所谓的特征线或方向。在超音速流动的每个点上都可以存在称为马赫波的小扰动波。这些实际上是特征线。马赫波的方向是特征方向。在特征线上，速度导数可能是不连续的，但速度本身不会不连续。沿着特征线，相容性关系成立。

相容性关系

     

   

 

图51：黎曼不变量

如图51所示的超音速流动中的流线。坐标s轴与流线对齐，另一个轴n垂直于它。在点(P)处有两个马赫线。流线左侧的是η特征线，右侧的称为ξ特征线。注意，这些每个都以角度μ倾斜于流线。可以证明，沿着η特征线，

即，

类似地，沿着ξ特征线，

即，

上述方程是相容性关系。本质上，它们表示Q和R分别是ξ和η方向上的不变量。这些被称为黎曼不变量Riemann Invariants，并且由于这里应用的简单性，它们相对简单。

因此，考虑流动中的一条曲线_AB_，已知ν和θ。这条曲线称为起始曲线。图52显示了在点_C_计算值的过程。

现在，

解ν_C和θ_C，得到

或者更一般地，

图52：使用特征线法进行计算

一旦计算出_C_点的流动，就可以继续计算下游的流动。

在实践中，为了获得准确性，考虑起始曲线上的一些点。从每个点画出马赫线。然后，程序沿下游 行进，计算每个后续点的流动。在这个过程中，创建了一个网络或网格点，如图53所示。

图53：特征线法程序

注意，特征线被近似为直线。例如，考虑图54。(4)或(2)处的特征线被视为直线。如果马赫数在(4)和(7)之间或(2)和(7)之间是恒定的，这是正确的。如果马赫数在这些点之间变化，那么真正的解是曲线，它们在(7')而不是(7)处相交。因此，作为点(7)的属性计算实际上是在点(7')的属性。由于这种近似引起的误差可以通过拉近(2)和(4)来最小化。换句话说，起始曲线上的大量点使解决方案更准确。

图54：程序的准确性

在固体边界或自由边界附近需要修改程序。在固体边界处，流动倾斜是固定的，即θ=常数。在自由边界处，ν=常数。这些效应可以在下面给出的示例中看到。

图55：通过发散管道的流动

在起始线上选择了四个点-(a)、(b)、(c)和(d)。在这些点的每个点上，马赫数相同，为1.605或ν=15度。在中心线上的流动将是水平的，并且在两个侧边界处与壁对齐。因此，θ在(a)、(b)、(c)和(d)处分别为6度、2度、-2度和-6度。起始值如下表所示。

内部点

考虑点_(e)_，

从这个ν值，推断出马赫数为1.672。

边界点

考虑边界点_(h)_，

对应于ν=19度的马赫数为1.741。

这个程序可以继续在流动的其余点进行。注意：网格不是固定的，而是在程序通过流场行进时构建的。特征线的角度由每个上游点的μ和θ值确定。

图56：波的反射和取消

考虑如图56所示的波从墙面反射。通过适当地将墙面旋转以等于特征的θ值，可以取消波，并且下游的ν值保持不变。这也适用于一系列波。

喷管的收敛部分是为了在喉部获得声速条件。这部分的几何形状有点任意，因为它纯粹是加速亚声速流动。但不应过于突然，以免在喉部引起流动分离。

图57：超音速喷管的设计，仅显示上半部分

超音速喷管的关键部分是发散部分的设计。喉部的条件是声速的，即ν=0，而在出口部分有一个马赫数M_T或一个ν=ν_T的值。

需要将流动通过一个等于ν_T的角度转向。从理论上讲，可以在一次“尝试”中实现这一点，即在尖锐的角落将流动转向ν_T。但实际上，这不是一个有效的设计。突然的转向可能导致流动分离。此外，需要进入测试部分的流动是均匀的，意味着下游没有任何膨胀波。特征线法程序将产生一个接近最优的设计。

发散部分中的流动扩张分为两个阶段 - (a) 扩张部分和 (b) 调直部分。在扩张部分，流动被扩展到θmax。在随后的调直部分，θ逐渐减少以取消波。当完全θ=0在壁上，并且ν=ν_T在中心线上。

根据上述特征线法程序，可以执行这些操作的每个步骤。

θ_max的值将取决于所需的出口马赫数M_T和所需的喷管长度。通过迭代，可以最小化这个长度。在许多情况下，扩张部分可以保持零长度。它将在喉部有一个普朗特-迈耶膨胀，如图58所示。

图58：最小长度超音速喷管的设计，仅显示上半部分