有限元分析丨模态分析
模态分析是动力学分析的基础，简而言之就是求模型的固有特性，包括频率、振型、振型参与系数等。
目录
8.1 模态分析简介
模态分析是一种方法，根据频率、阻尼、模态振型这些本质特征来描述结构，帮助我们明白结构是怎样振动的。通过求解特征值和模态变换，将物理空间复杂、耦合的方程组进行解耦，解耦到模态空间的方程组为一组单自由度系统解耦的运动方程、设计结构，都存在固有频率和模态振型，这些特征依赖于确定结构的质量和刚度分布。对于结构设计工程师，根据求解频率，知道当有外力作用时，明白结构模态振型和结构将怎样振动，帮助工程师设计出更优的结构。
模态分析是研究结构的动态特性的主要方法之一，通过模态分析主要可以得到结构的固有频率，振型两个结果。
求解的运动控制方程为：
这个方程为一个二阶的非齐次微分方程，求解这个方程的第一步就是先假设F(t)=0，将他转换为齐次的二阶微分方程，可以求解出他的特征值和特征向量。得到的特征值按照从小到大顺序排列就是各阶的固有频率，对应的特征向量即为各阶振型。这就是模态计算背后的求解过程，从这里我们也可以看出，模态计算时是不可以有外部载荷存在的。模态分析实际上就是进行特征值和特征向量的求解，也称为模态提取。
注：对于数学求解过程感兴趣可以看一下《Ansys结构动力分析与应用 》第2章内容。
8.2 模态分析应用
模态分析是最简单的动力学分析，有非常广泛的实用价值。模态分析可以帮助设计人员确定结构的固有频率和振型，从而使结构避免共振，并指导工程师预测在不同载荷作用下的振动形式。
1、验证有限元模型的准确性
在试验模态前期阶段，通过有限元模态分析可以帮助确定试验中的测点分布和参考点位置。而在后期阶段，试验模态的结果可以用于校准有限元模态，提高模型的准确性，因为有限元模型做了很多简化处理的，如装配与接触等等方面。
注：使用谐响应进行扫频分析时，查看模态振型确定测试点分布和参考点位置，在谐响应分析时进行详细讲述。
2、评价现有结构的动态特性
通过模态分析可以求得各阶模态参数，同时考虑结构所受的载荷，可得到结构的实际响应，从而评价结构的动态特性是否符合要求。
当获得了结构的模态参数之后，可在不修改实际结构的情况下，基于模态数据进行动力学修改（加减质量、弹簧-阻尼、动力吸振器等），验证修改之后的动力学行为，为实际结构的动力学修改提供指导。
注：模态分析中考虑阻尼影响时，可以不在材料设置中进行非线性设置，而是通过模态分析阻尼系数进行设置。
3、对结构危险部分进行预判
产品设计中出现了薄弱部分，其刚度必须降低，因此，薄弱环节必然影响模态参数，导致出现明显的局部模态。另一方面，薄弱部分辐射的噪声也必然增大。
③为后续分析工作做准备。
8.3 固有频率与共振
8.3.1 固有频率定义
结构系统在受到外界激励产生运动时，将按特定频率发生自然振动，这个特定的频率被称为结构的固有频率，通常一个结构有很多个固有频率。固有频率与外界激励没有关系，是结构的一种固有属性。不管外界有没有对结构进行激励，结构的固有频率都是存在的，只是当外界有激励时，结构是按固有频率产生振动响应的。
8.3.2 影响固有频率因素
对于无阻尼单自由度系统而言，固有频率计算公式如下：
单位为Hz，表示1s振动循环次数，也可以用圆频率（也称为角频率）来表示固有频率，公式为
单位为rad/s。
以上计算都是无阻尼的情况，因此，获得的固有频率为无阻尼固有频率。
对于一般性结构系统而言，都是有阻尼的，因此它的固有频率为由阻尼固有频率。无阻尼固有频率与有阻尼固有频率关系如下：
从上面的公式我们可以看出，结构的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，而阻尼对固有频率的影响非常有限。（假设ξ=0.1时，则ωd=0.99499ωn）
百度百科中的固有频率受形状、材质影响。材质（密度、杨氏模量和泊松比）影响的是质量和刚度，形状影响的也是质量和刚度。
如结构的边界条件不同， 固有频率必然不同，这是因为边界条件会影响到结构的刚度分布。质量增大， 结构的固有频率必然降低，刚度增大，结构的固有频率必然增大。但是刚度继续增大，固有频率不会无限增大，只会增大一定程度。刚度增加越快，频率移动越慢。这是因为结构的共振峰对应的是固有频率， 刚度增大后，结构的固有频率会向上移动靠近反 共振峰，反 共振峰对应的刚度是无限大的。
8.3.3为什么只考虑低阶固有频率？
低频模态的有效质量更大，更容易被激励起来，另外结构受到特定的激励时，也只关系特定阶的固有频率。
8.3.4 如何避免共振
共振是一种现象，指系统受到外界激励频率与系统固有振动频率相等或接近时，系统产生大幅度剧烈的振动，甚至导致不可预料的行为。共振产生时的频率称为共振频率，注意共振频率不等于固有频率。共振频率是外界激励频率，固有频率是结构固有属性。共振不一定只发生在单一固有频率处，往往发生在具有一定频率范围内的共振带中。
可以利用模态分析获得固有频率，与激励频率进行对比，找出设计中的薄弱部分。理论上改变质量和刚度可以改变固有频率，避免共振。
共振频率可以理解成固有频率浮动范围内的频率段。在接近固有频率时产生共振现象，对于“接近”该如何理解呢？或者说共振的频率段一般在固定频率附近多宽的区间呢？
算法上一般共振带取共有频率的40%，比如某模型激励频率为400Hz，则共振带为240Hz-560Hz。
很多情况下，要考虑40%以上的频率间隔，似乎是不现实的，因此，很难给出一定具体的数字来确定到底应该须离固有频率多远的距离。但是，也有一些行业普遍认同的观点，如在汽车行业，一般要求是距固有频率有3，4Hz的间隔或者15-20%的距离。如B级车白车身第一阶模态在30Hz附近，15%的频率间隔，则对应4.5Hz，跟3、4Hz的间离也非常接近。
注：对“接近”的理解，来自：《从这里学NVH——噪声、振动、模态分析的入门与进阶》，如果对模态分析感兴趣，一定要看这本书！
8.4 Workbench模态分析
8.4.1 模态分析参数
模态分析得到的振型数值是归一化的数值，即为相对值而非绝对值，同时振型是一个矢量，具备方向性。实际工程中，经常需要对载荷激励下模型所产生的响应进行分析，该响应是一个绝对值，为由激励的各阶模态引发的各阶响应之和（线性叠加），各阶振动响应等于各阶模态乘以相应的加权系数。
各阶模态的加权系数的数值与输入激励载荷的大小、数量、位置与频率等因素有关。
1、比率RATIO
表示振型参与系数与一阶振型参与系数之比，用以了解振型参与系数的分布。一般地，振型阶数越高其参与系数越小，因此在实际动力反应计算时常常忽略高阶振型的影响，而仅取少量的低阶振型计算。
2、有效质量EFFECTIVE MASS
参与模态响应的那部分质量，模态有效质量<结构总质量，每阶模态都有自己对应的模态有效质量，有效质量大的更容易被激励起来，有效质量小的难以被激励起来，所有的模态有效质量之和等于该结构的实际物理质量，通过模态有效质量可以判定哪阶模态“更重要”。
3、累计质量分数Cumulative Mass Fraction
表示从第一阶到该阶振型等效质量之和与总等效质量之比，也称为有效质量系数，该值在一定程度上可判断所提取的振型数是否足够。
8.4.2 模态分析设置
1、指定最大频率数Max Modes to Find
默认是提取前6个固有频率。在分析中最大模态阶数一般采用试算进行设置，使最后一阶模态计算结果符合1.5倍原则。（可根据实际情况进行调整）
结合限定最大阶频率值，确定最大阶模态阶数。
2、阻尼Damped
模态系统是无阻尼的还是有阻尼的。根据您的选择，将提供不同的求解器选项。默认有阻尼，设为No，并假定模态系统为无阻尼系统。
阻尼设置默认为No，表示模态系统为无阻尼系统，设置为Yes时需用对Damping Control进行设置阻尼系数，设置刚度系数方式有两种，我没有使用过不做详细介绍，感兴趣可以在帮助文档搜一下。
注：当复杂装配体考虑阻尼时，进行动力学分析速度会非常非常... ... 慢，一般我会忽略阻尼影响。但对于减振分析时，阻尼是无法忽略的因素，建议对阻尼连接区域进行局部分析。
3、求解器类型Solver Type
求解器类型我没有研究过，分析时采用默认。
注：想要更深入了解求解器类型使用，建议找一本ANSYS 经典书学习一下。
4、输出控制Output Controls
在模态分析中输出模态振型，打开设置可以计算应力和应变结果，
注：应力结果显示应力在结构中的相对分布，而不是真实的应力值。
咦，我怎么忘记写模态振型云图也不是真实的变形量分布，而是结构中的相对分布！
8.4.3 求解结果分析
模态分析计算结果的振型是结构自由度的数学体现。产生共振必须激励自由度与振型相匹配，不仅是频率的对应关系。
同时由于振型反应模型自由度，因此在多部件复杂接触模型分析之前，最好进行模态分析。通过振型可以非常清楚地观察到模型接触状态，检查出接触遗失出现和约束不足的位置。
另外通过振型显示可以发现，模态存在全局模态和局部模态。局部模态是指模态仅在小部分表现明显的幅值。即振型仅在结构的某些局部区域内存在响应，而在大部分区域，振型对结构的响应几乎为0。
在循环周期对称模型的模态分析中最容易出现局部模态现象。一般而言，对于结构的整体动力学分析可以忽略局部模态的影响，但是如果多阶振型均反映相同局部区域的局部模态，这代表该区域刚度较小且对缺陷或扰动非常敏感（类似于屈服），则必须对其进行设计修正。
补充1：网格
在模态分析的计算结果中，低阶频率表现为网格无关性，即网格疏密对模态计算的低阶频率和振型结果影响不大，但网格疏密对模态计算的高阶结果有较大影响。如果网格比较疏，那么不仅求解的频率有偏差，振型也会出现错误。
我在复杂装配体进行模态分析时经常偷懒，直接采用默认设置直接网格划分... ...
8.5 预应力模态分析
结构模态在不同载荷条件下呈现出不同动力学特性。例如琴弦在外载拉力作用下，刚度变大，固有频率也相应变大，风力发电机叶片在旋转时，刚度变小，固有频率减小。
说明外载荷对模型的固有频率是有影响的，分为两种状态：应力钢化和旋转软化。由于模态分析中无法不能加载外载荷，因此可采用预应力模态分析。即通过静力学分析得到结构模型的刚度，再用此刚度计算模态。
具有预应力的结构是模态分析，结构中的应力可能会使结构刚度发生改变。
同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性。
例如，一根琴弦随着拉力的增加，它的振动频率也随之增大，涡轮叶片旋转时，由于离心力引发的预应力作用，它的自然频率逐渐具有增大趋势。最近进行大尺寸薄膜分析时，预应力对模态分析结果影响非常明显。未来有机会，如果允许可以分享一下薄膜分析这事儿。
为了恰当地设计这些结构，必须要做具有预应力和无预应力进行模态分析。
注：预应力模态分析先进行静力学分析，再关联模态分析，在模态分析与静力学分析关联时，旋转速度载荷在模态分析中不可用。在进行带有预应力的模态分析时，打开大变形效应，模态分析结构针对原几何模型，而不是静力学变形后的几何模型。
8.6 自由模态分析
同一个结构在不同的边界条件下，模态参数是不相同的。很多情况下， 结构实际工作条件下的边界并非自由边界， 那为什么还要做自由边界条件下的模态分析？
当对自由边界的结构施加约束时， 随着约束刚度的增大，结构的刚体模态会逐渐向弹性模态转化。对同一结构，从自由边界变换到约束边界，是对结构进行了动力学修改，那么修改后的约束边界下的模态可以通过修改前的自由边界的模态的叠加得到。自由模态比约束模态更容易实现。不管是试验模态（试验模态需要夹具是一种弹性体）还是计算模态，约束边界都要更困难些。另一方面， 自由模态不仅有弹性模态， 还有刚体模态， 而约束模态只有弹性模态。虽然同一结构的约束模态与自由模态的模态参数完全不同， 但现实世界中很多情况下仍然做自由模态分析。
注：对飞行器、航天器以及舰船模型工作中并不存在约束，适用于自由模态分析。
图片来源：周炬的书↓
模态分析的约束条件根据实际工况进行设置，不合理的约束设置影响系统刚度，导致分析结果差异较大。
请思考一下弹体结构模态分析该如何约束呢？
8.7 模态分析中注意事项
8.7.1 建模
1、准确的三维模型
如果需要简化为梁或壳模型，那么在低阶频率范围内，不仅需要采用高阶单元，还必须保证足够的网格密度。在高阶频率范围内，忽略实体模型细节，导致模态振型丢失，计算误差大。
2、慎用质量点
一般不建议使用，如果不得不要用质量点，一定要输入准确的质量点参数（质量+位置坐标），还要输入转动惯量。
8.7.2 非线性处理
模态分析中只有线性行为有效，如果定义了非线性将被当作是线性的。如分析中包含了接触单元，则系统取其初始状态的刚度值，并且在模态分析过程中不再改变此刚度值。
可以定义材料的非线性，但模态分析仅需要密度和弹性模量即可，非线性材料特性将被忽略。如果考虑材料阻尼，可以在模态设置中进行修改。
先写到这儿，后续再补充，4月份发文目标完成🤗
