一文说清丨功率谱密度PSD曲线
进行随机振动分析，输入载荷为下表所示的PSD（power spectral density）功率谱密度。
图1 来源： 航天器随机振动设计载荷比较
PSD输入曲线通常利用斜的直线画在双对数坐标系上，直线斜向右上方被认为是有正（+）斜率，而直线斜向右下方被认为是有负（-）的斜率。功率谱密度斜率单位是dB/oct，还有Grms，这些参数该如何理解呢？
1 分贝（dB）
谭详军《从这里学NVH》1.5节中，有关于分贝（dB）内容，学过振动力学，但年头太多早忘干净了，这节内容看的吃力且看不懂...
图2 来源：《从这里学NVH》P21
（1）功率之比：
（2）幅值之比：
下标为 0 的数值均为幅值和功率的参考值。
功率量，如声功率 （W）、 声强 （W/ m2）、电功率、 电强等。
幅值量，如声压 （Pa）、 电压 （V）、 加速度 （m / s2）、 温度等。
那么，扩展看一下。
（1）声压级（对应幅值量）：
，dB→
加速度（对应幅值量）：
，dB
（2）声强级（对应功率量）：
，dB
（3）声功率级（对应功率量）：
，dB→
功率谱密度：
dB
将分贝（dB）用于随机振动中，可用于度量PSD比值P2/P1如下：
当画在双对数纸上的PSD为一直线时，点2的PSD值为点1的PSD值的2倍，用dB表示该比值为：
即，可以理解，dB与纯数斜率的关系：3dB表示斜率等于1的纯数。
2 倍频程
随机振动中对应斜率（倾斜线）单位是dB/oct，分贝（dB）已经理解，那么倍频程（oct）是什么意思呢？
谭详军《从这里学NVH》1.7节，关于倍频程oct，这节内容还是没有看懂...
图3来源：《从这里学NVH》P31
当两个频率之间存在2的n次幂的关系时，即一个频率是另一个频率的2倍或1/2倍，它们之间的间隔就称为一个倍频程。
图4来源：讯飞
之前内容有分享过关于倍频程的内容，自认为对dB/oct这概念已经理解了，但在整理随机振动表时发现自己的理解是有缺失的。
前文已经提到，3dB的斜率（与3dB/oct是相同的）代表斜率为1（45°）的纯数，同理，6dB/oct代表斜率为2（63.4°）的纯数。详见图5中PSD曲线图。
下面画一个PSD对比曲线图，加深一下对dB/oct概念的理解。
理解为何3dB/oct=10dB/decade？
图5 来源：我的手写计算
3 根据倾斜PSD曲线求Grms
随机振动输入和响应曲线，一般会使用功率谱密度PSD曲线画在双对数纸上，垂直轴单位为G2/Hz，水平轴单位为Hz，功率谱密度P常称为加速度密度：
上式中，G是用重力单位表示的加速度的均方根（RMS），而△f是用Hz表示的频率范围的带宽。
均方根加速度水平与随机振动曲线下的面积有关，通过积分输入随机振动曲线可以求得输入均方根加速度水平，而通过积分输出（或响应）的随机振动可以获得输出（或响应）均方根加速度水平。
图6 来源：我的手写计算
利用下列方程，可以确定不同斜率线段下的面积。
图7 来源：我的手写示意
① 当斜率K≠-3时，
② 当斜率K=-3时，
③ 当斜率K=0时
举例：手写了计算Grms过程。
图8 来源：我的手写计算
4 根据面积积分方法求Grms
PSD曲线面积可以使用面积关系进行求解。
根据解析几何求解斜率方程：Y=AX+B
式中：
其中：
注意：斜率A对应的是纯数，需要把dB/oct转化成纯数单位。
如果脑子好，可以记住：
3dB/oct=1，
-3dB/oct=-1，
6dB/oct=2，
-6dB/oct=-2，
9dB/oct=3，
-9dB/oct=-3...
代入1、2点对应数值，可以计算求得A、B数值。
那么，曲线下的面积进行积分求解：
注意：对f进行积分计算面积，如果A=-1，对f积分，为lnf；
如果A≠-1，对f积分，为
。
手写进行计算，第3部分提到计算方法和第4部分计算结果是一致的。
图9 来源：我的手写计算
图10 来源：自建计算表
5 计算PSD上各点对应数值
随机振动输入PSD曲线，一般只提供拐点PSD值，而不提供初始和终止的PSD值，根据下式直接进行计算：
根据上式，可以计算得到图片1对应的输入10Hz对应PSD值，P1=3.125e-05G；2000Hz对应PSD值，P2=0.0791G。
图11 来源：自建计算表
6 随机振动中加速度、速度和位移计算
6.1 加速度
前文提到计算得到的Grms值，可以理解为根据随机振动PSD功率谱密度曲线，计算得到的加速度值。但需要注意，此结果的加速度单位将是加速度密度单位的平方根。
G=9.806m/s2。
图12 来源：自建计算表
6.2 速度
均方根速度可以用同样的方法计算；然而，拐点处需要从a2/Hz单位转换为v2/Hz单位，如果需要，还需要进行适当的单位转换。
计算速度公式：
采用面积积分方法求vrms：
单位转化，可以代入G=9.8m/s2。
图13 来源：自建计算表
6.3 位移
均方根位移可以用同样的方式计算；但是，拐点处需要从a2/Hz单位转换为d2/Hz单位，如果需要，还需要进行适当的单位转换。
该公式定义了一个给定频率的正弦波的加速度和位移之间的关系。
计算位移公式：
采用面积积分方法求drms：
单位转化，可以代入G=9.8m/s2。
图14 来源：自建计算表
7 随机振动计算表
之前分享过一次随机振动计算表，问题十分多，多亏链接只设置为一个月，要不洋相出大了，后续有几位关注者求这个计算表，一直拖拉到现在…
表1.1，PSD曲线参数计算表（dB/oct=-3）
表1.2 ，PSD曲线参数计算表（dB/oct≠-3）
表2.1，加速度、速度、位移转换（dB/oct=-3）
表2.2，加速度、速度、位移转换（dB/oct≠-3）
表3 GJB150.16A.2009 部分数据
8 小结
一直完全没有整块时间输出，内容都是断断续续写的，会有一点碎片化，不过也是尽最大努力把PSD曲线涉及到的概念写清楚。希望对您有帮助（这篇字不多，但写的好累）！
分享手写图片目的是，看清公式代数过程，Excel表工具纯手动敲出来，有错误一定要后台告知我，进行修改。
本文，仅提供PSD参数计算方法，对随机振动并未进行详细说明，以及GJB150.16A 2009标准理解依然浅薄，因此无法进行过多说明，可以多看看参靠文献。
图15 来源：飞机结构振动设计与试验封面
这里推荐配合施荣明《飞机结构振动设计与试验》理解GJB150.16A 2009，以及一定要看MIL-STD-810G。施荣明这本书写得十分实在，谈到编制GJB 150 16的艰难，“引用”MIL-STD-810F美标时，是如何参考，如何改进。
这本书，从事相关专业强烈推荐，个人感受，这本书是站在了MIL-STD-810美标（已经更新到810G）肩膀上，本土化应用时的，施荣明老师多年积累工作经验分享。
图16 来源：飞机结构振动设计与试验P19
