光机丨理解刚体位移（一）

 迭一下buff！

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• 本系列文章，是本人在结构有限元分析工程师角度的偏面认知，想打通任督二脉，到具体工作中找设计、找装调，一点点刨。

• 本系列内容涉及理论公式较多，公众 号模板不适合公式输入，行文风格会改变，写的人依然是我...

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• 本系列涉及案例均为软件帮助文档提供模型，理论均来自经典教材，会进行标注内容来源，需要模型、文献自行查阅。不提供任何软件安装包，自行到网络海洋中寻找。

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1 前言

任何光机结构产品在研发阶段，光学设计毫无疑问处于主导位置，光学设计确定了图像最佳位置、方向和大小，机械设计工作是把所有光学元件以足够的精度实现定位，满足光学设计要求。

虽然光学设计提供公差分析传递给机械设计，以确定光学元件制造、布局定位所需的精度水平，实际工作中需要光学设计和机械设计进行多轮迭代，机械设计不理解公差对系统成像性能影响，会给后续设计工作带来诸多问题。

公差分析是一项非常复杂的工作，它直接影响光学制造公差、结构系统复杂性和成本。

光学，这门学科对我来说是存在学科壁垒的，巨大的理论缺失鸿沟也绝非一朝一夕可以填平，对于大部分机械设计也是如此。

刚体 位移作为联接光学设计提供公差分析和机械设计最终机械方案的桥梁，写光机系统分析，第一篇毫无疑问是先写刚体 位移。

本文从四方面谈刚体 位移：

• 刚体 位移对光学系统成像性能影响。
• 刚体 位移理论计算。
• sigfit帮助文档中的刚体 位移参数。
• zemax扰动分析。

2 刚体 位移

光学元件受外界载荷扰动时，将会对成像性能造成影响，产生光学表面位置误差和光学表面面型误差，本文探讨光学表面位置误差（即光学表面刚体误差）。

图片来源 文献2

光学表面位置误差也称为刚体误差包括：表面沿着6个自由度方向的平移和倾斜，分为：偏移（轴向）、偏心和倾斜。

在光学设计中，可以使用标准偏移、偏心、倾斜命令来表示结构有限元计算得到的刚体误差。

在光学设计中这些命令通常用建立折叠的光学系统，还可以对单个或一组表面施加扰动。

3 刚体 位移对成像影响

以下内容来源《The Optomechanical Constraint Equations Theory And Applications》第二章，透镜刚体 位移对成像系统性能影。

注意：国防工业出版社引入这本书，整体翻译质量可以，只是公式部分校稿不严谨，公式部分发现6处错误，如果需要公式，切勿直接搬中文版的公式，对照英文版认真看一下。

如今翻译做的越来越好，英语能力可以、工具掌握灵活的朋友建议看原版。

国防工业出版社引进光机类书，整体翻译质量非常好，公式部分出现微小瑕疵尚可接受，隔壁机械工业出版社那翻译真的是能把人气哭，对于新手来说极有可能误入歧途...

3.1 高斯成像公式

图片来源：文献1

高斯成像公式：

式中：

s为物体到第一主点的物距；

s’为物像到第二主点的像距；

f为透镜的焦距。

注意：上式中的减号和光学设计中约定是不同的，因为这里采用了机械设计使用的Z轴，它和光学设计中的Z是相反的。

根据高斯公式，由物距s可以计算出像距s’。

3.2 透镜影响函数

（1）透镜竖直运动

（2）透镜水平运动

（3）透镜轴向运动

① 图像运动

式中：

影响系数为

偏差分数为

注意：偏差分数的复杂的形式，是由于在放大率取值+1和-1附近时，方程的奇异性造成的。在这两种条件下，实际像移都是0.0。

由于实际像移动在偏差分数的分母中，也就是：

e=（线性像移-实际像移）/实际像移

可以看出，不论是什么变量发生变化，只要使放大率接近±1，实际像移产生的偏差分数的值都趋于无穷。

尽管在M=±1.0附近偏差分数变化非常快，实际的像移动却很小，类似的以尺寸量纲表示的非线性偏差也非常小。

由于非线性影响的大小都是独立于物体或者透镜的运动，因此，以尺寸量纲如毫米表示的非线性偏差，可以根据物体运动的偏差分数精确计算。

② 图像尺寸

透镜的轴向运动同时还会产生图像尺寸变化，采用构想实验并叠加的方法，并注意到透镜的运动量Tz1和物体运动量Tz0是相等的，可以得到。

其中影响系数为

偏差分数为

（4）透镜绕水平方向的转动

图片来源：文献1

不过还存在另外的运动分量，由于透镜绕着它的第一主点转动，同时还会存在一个沿着Y方向的像移，它和主点厚度p正好成比例，即

（5）透镜绕竖直方向转动同上

（6）透镜绕轴向转动

由于透镜是旋转对称的，它的轴向转动对于图像没有影响，因此。

（7）透镜焦距变化

① 图像运动

通过联立扰动前后高斯公式，可得

注意：

因此可以得到影响函数

如下

影响系数为：

偏差分数为：

注意到影响系数中的最初符号是在括号外边，因此这个影响系数总是负的。

②尺寸变化

透镜焦距变化同时也会产生图像大小的变化。影响函数为

由此，可知影响系数为

偏差分数为

透镜影响函数总结：

透镜影响函数，也就是包括焦距变化在内7个透镜运动量产生的7个图像运动量，如下图所示。

图片来源：文献1

3.3 透镜设计变量对高斯变量影响

设计透镜时很少指定焦距变量，而是指定4个物理光学指标变量，也就是两个半径、一个厚度和材料折射率，这样就产生一个奇异的高斯指标集 合，也就是：焦距、两个主点和主点厚度。

任何物理光学指标量发生变化，在某种程度上都会影响所有4个高斯指标变化量，不过，实际情况是，物理光学指标的变化对于焦距的影响比其他任何高斯指标变量都大。这主要是因为焦距在数值上通常比其他高斯变量都更大（一般会大两个数量级），并且物理光学指标变量对它有非常强的影响。

实际经验表明，透镜设计变量对图像配准误差的影响主要是由于它们对透镜焦距的影响。下表根据近轴透镜公式：

图片来源：文献1

4 sigfit中刚体 位移

Sigfit是将光学元件有限元数据经过径向变换处理后，可以提取刚体运动。

4.1 刚体 位移计算方法

最佳拟合刚体运动计算的两种方法。

方法1：使用有限元程序中内置的插值单元，通过使用和光学表面节点联系在一起的插值单元，来计算表面节点平均的刚体运动。

适用于静态和动态机械载荷条件，但不推荐在热载荷条件下使用该方法。

方法2：计算具有多个节点光学表面刚体运动方法，就是进行最小二乘最佳拟合。这需要把有限元分析的表面位移输出到辅助软件进行后处理。

4.2 刚体 位移坐标

VCID坐标系下的刚体 位移

三个平动Tx、Ty（decenters离轴）和Tz（bias平移）

三个转动Rx、Ry（tilts倾斜）和Rz（spin滚转）

4.3 刚体 位移求解

一个给定节点xi、yi、zi产生节点刚体 位移如下计算。

实际光学表面节点位移dxi、dyi、dzi与节点刚体 位移平方差E

对上式求偏导，并令它等于0，就可以得到最佳拟合的刚体运动

对6个参数求导后，联立方程进行求解，就可以得到适当的刚体 位移的解。

4.4 详细计算过程

以上内容来自sigfit帮助文档，看完这段内容，不理解的人依然不理解，理解的人压根不需要这段内容...

展开继续写一下。

图片来源：自己画的

如上图所示，通过结构有限元分析方法可以获得，镜片表面节点位移、转角，而光学设计关心的镜片刚体 位移、曲率、面型对光学系统性能影响。这需要对镜面节点有限元分析数据进行分离处理，sigfit帮助文档中提出的基于最小二乘法进行数据节点分离处理，接下来展开写一下我的理解（看了一堆硕博论文后总结的）。

在光学设计时，光学系统有全局坐标系，光学元件有局部坐标系。

①全局坐标系可以设置与某一光学元件局部坐标系相同

②全局坐标系可以通过每个面上的局部平移和旋转来定义。

当采用 Zemax 进行光学设计时，各个光学元件有局部顶点坐标系，光学系统有全局坐标系，并且全局坐标系可以设置与某一光学元件局部坐标系相同。

全局坐标可以通过每个面上的局部坐标旋转与平移来定义。此变换的计算公式，如下

图片来源：文献4

式中：g下角标表示全局坐标系；o是偏移量；l是局部坐标系。

旋转矩阵可以用于计算全局坐标系中局部坐标系沿坐标轴方向单位向量的表达式：

这部分我看的有点懵，多亏当年看到一篇文献。《RTV 胶在高精度光学装配中对面形影响的分析 》（作为2013年的一篇硕士论文，比后来很多论文写的要好，强烈推荐找来这篇文章看一下，作者关少华）。

文章中详细表述了如何将有限元分析结果去处刚体 位移后对镜面进行拟合。使用齐次坐标变换方法进行求解。

在不考虑镜面畸变情况下，镜面的刚体 位移实质上是由于初始镜面发生平移和旋转造成的。

初始镜面节点坐标

变形后镜面节点坐标

镜面畸变所引起的各点位移

沿各坐标轴的平动变换矩阵T可表示为：

沿各坐标轴的旋转变换矩阵分别表示为

设A为齐次坐标变换矩阵，则A可表示为：

在光机系统分析中，由于光学元件的刚体旋转量通常都很小，旋转角度满足关系式：

从而齐次坐标变换矩阵可表示为：

由于 Rx，Ry，Rz非常小，可以将矩阵A中2次以上的高阶项直接去掉，齐次坐标变换矩阵最终简化为：

所以变形前后的镜面节点坐标满足以下关系：

利用最小二乘法求解，目标函数为：

式中：wi为加权系数。

4.5 不要忽略加权系数

这里进行补充说明一下，sigfit2020帮助文档并没有上述公式内容，本文中内容来自sigfit2017。

注意：2020帮助文档删除了一些内容，复刻sigfit的人估计更多会看2017吧。

如果，到知网查文献，会发现大部分文章并没有提到wi加权系数这一参数，是直接忽略这一参数，个人认为这参数不应忽略，翻一下sigfit2017帮助文档对weighting function定义。

① sigfit可以对任意网格的网格点面积加权的自动计算。

② 刚体运动和多项式拟合需要独立面积加权计算。

为使刚体 位移后光学镜面与实际镜面最接近，则需要Q取最小值，根据最小二乘法可以得到：

将有限元分析得到的镜面节点位移数据代入，即可求得光学镜面的各刚体 位移量。

写了将近四千字，书看乏了字敲累了，公式不想码了，未完待续…

参考文献