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想做拓扑优化但几何无法参数化?试试Adjoint Method这种纯纯CFD优化方法

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Adjoint Method拓扑优化是怎么回事?先看看下面这张图。
伴随方法(Adjoint Method)在计算流体动力学(CFD)中是一种用于形状和拓扑优化的强大技术,是一门充满优化问题的学科。。这种方法的核心在于高效地计算目标函数(如阻力、升力等)相对于设计变量(如翼型形状、管道布局等)的梯度。通过这些梯度信息,可以指导设计变量的调整,以优化流体流动并达到预定的性能目标。解决优化问题的一种更高效的方式是确定对输入所需的改变,以实现对输出的期望影响,这种方法被称为伴随方法。

1、Adjoint Method的历史

伴随方法在设计优化应用方面有着悠久的历史,但通常认为,流体力学中最优设计首次使用伴随方程的是奥利弗·皮罗内奥教授(1974年)。后来,安东尼·詹姆森教授等人从20世纪80年代末开始发表了一系列论文,开创性地在计算流体动力学(CFD)领域,特别是在航空应用中使用伴随方程,包括势流、欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的伴随解。在20世纪90年代末和21世纪初,许多其他研究小组也跟随这一趋势,开发了各种原型的伴随CFD代码,用于优化。    

2、伴随方法(Adjoint Method)

伴随方法基于的是原始问题(primal problem)和伴随问题(adjoint problem)的概念。原始问题通常是直接的流体流动模拟,例如求解纳维-斯托克斯方程。而伴随问题则是一个与原始问题相关的辅助问题,它通过伴随方程来表达目标函数对设计变量的敏感性。
伴随方法是一种数学技术,能够有效地计算函数的梯度。通过这种方式,也可以计算出这个函数的搜索方向或敏感性,然后可以与基于梯度的优化算法一起使用,以定义一个新的点。然后计算这个新点的梯度,并重复该过程,直到找到函数的最大值或最小值,这代表了最优解。
优化问题是解锁无数应用性能的关键。伴随方法基于伴随方程,这是将期望的输出变化与输入的必需变化联系起来的线性微分方程。在CFD求解器中,伴随算法首先解决原始方程,即纳维-斯托克斯方程。然后算法解决伴随方程,这需要一个离散化、线性化和迭代的过程。对此有两种不同的方法:1) 连续伴随和 2) 离散伴随。
连续伴随首先从原始方程中解析生成伴随方程,然后离散化并解决它们。而离散伴随则是在线性化和解决之前先离散化原始方程,以获得离散的伴随系统方程。    

3、步骤

1). 原始问题求解:首先,需要求解原始的流体流动问题,通常是通过数值方法(如有限体积法或有限元法)求解纳维-斯托克斯方程。
2). 目标函数定义:定义一个目标函数,这个函数是我们希望最大化或最小化的量,例如升阻比、热传递效率等。
3). 伴随方程构建:构建伴随方程,这是一组线性微分方程,它们与原始方程相关联,并且能够描述目标函数相对于设计变量的变化。
4). 伴随问题求解:求解伴随问题,得到伴随解。这一步通常需要对原始问题的解进行调整,以满足伴随方程的边界条件。
5). 梯度计算:利用伴随解计算目标函数相对于设计变量的梯度。这个梯度提供了优化方向,即如何改变设计变量以改善目标函数的值。
6). 设计更新:根据计算出的梯度信息,更新设计变量。这通常涉及到使用优化算法,如梯度下降法、遗传算法等。
7). 迭代过程:重复步骤1至6,直到达到收敛条件,即目标函数的改进不再显著,或者达到预定的迭代次数。    

4、两种形式

伴随方法(Adjoint Method)主要有两种不同的形式,它们分别是:
离散伴随方法(Discrete Adjoint Method):这种方法首先对原始的流体动力学方程(如纳维-斯托克斯方程)进行离散化,通常是通过有限差分、有限体积或有限元等数值方法。然后,在离散化的基础上,对方程进行线性化处理,并求解得到原始问题的解。在这一基础上,进一步构建并求解伴随方程,以获得目标函数对设计变量的敏感性信息。
离散伴随方法的优点是可以直接利用现有的CFD求解器和自动微分工具,但缺点是计算过程中需要存储和操作大型的雅可比矩阵,这可能导致较高的内存和计算成本。
连续伴随方法(Continuous Adjoint Method):与离散伴随方法不同,连续伴随方法首先在连续的层面上(即不进行离散化)从原始方程中推导出伴随方程。这意味着在原始方程的解析形式上直接构建伴随方程,然后再对这些方程进行离散化和求解。这种方法避免了在原始问题求解过程中存储雅可比矩阵的需要,从而降低了内存和CPU的成本。
连续伴随方法的优点是计算效率更高,内存和CPU使用更少,而且可以更容易地扩展到更复杂的问题。此外,由于伴随方程和它们的边界条件是以封闭形式给出的,这提供了对物理系统的更好理解。然而,这种方法可能需要更多的软件开发工作,因为它需要从原始算法中派生出新的伴随方程。    

5、应用

伴随方法在航空、汽车、能源和海洋工程等多个领域都有广泛应用。例如,在飞机翼型设计中,可以使用伴随方法来优化升阻比;在汽车外型设计中,可以减少阻力以提高燃油效率;在管道系统中,可以优化流道布局以减少压力损失。
总的来说,伴随方法是CFD中一种非常重要的优化工具,它通过提供目标函数的敏感性信息,指导设计改进,从而在满足性能要求的同时,减少迭代次数和计算成本。    

来源:CFD饭圈
拓扑优化航空汽车海洋管道
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首次发布时间:2024-09-08
最近编辑:1月前
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