FVM求解器的求解方法有哪些

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有限体积法（Finite Volume Method，简称FVM）是一种用于数值求解偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）的方法，特别是在计算流体动力学（CFD）中广泛应用。FVM通过将控制体积划分为有限数量的单元（通常是网格单元），并在这个体积上对守恒定律进行积分，从而得到一组代数方程。这些方程随后可以通过各种数值方法求解。以下是一些常用的求解方法：

一、直接求解方法

1.高斯消元法（Gaussian Elimination）：

▪这是最基本和最传统的直接求解方法。它通过一系列的行变换将系数矩阵转换为行梯度形式（上三角形式），然后通过回代（back substitution）求解未知数。

▪高斯消元法对于小型到中型的方程组非常有效，但对于大型稀疏方程组，其计算成本和内存需求可能会非常高。

2.LU分解（LU Decomposition）：

▪LU分解是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积。

▪这种方法通过前向替换和后向替换两个步骤来求解方程组，适用于中等规模的方程组。

▪对于正定矩阵，LU分解是一种非常有效的直接求解方法。

3.Cholesky分解（Cholesky Decomposition）：

▪仅适用于正定矩阵。该方法将正定矩阵分解为一个下三角矩阵的平方，即A = L * L^T，其中L是下三角矩阵。

▪通过前向替换和后向替换求解方程组。

▪由于其高效性和数值稳定性，Cholesky分解在求解正定线性系统时非常受欢迎。

4.PLU分解（Partial Pivoting LU Decomposition）：

▪这是一种改进的LU分解方法，通过行交换（部分主元消去法）来避免因数值问题导致的求解失败。

▪该方法在每一步消元过程中选择最大的主元，以减少因数值误差导致的不稳定性。

5.Doolittle算法和Crout算法：

▪这两种算法都是LU分解的特例。Doolittle算法生成的是行主元的上三角形式，而Crout算法生成的是列主元的下三角形式。

▪这两种方法在实际应用中较少使用，因为它们不如高斯消元法或Cholesky分解高效。

6.奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：

▪虽然SVD通常用于矩阵近似和数据压缩，但在某些情况下，它也可以用于求解线性方程组，尤其是当矩阵接近奇异或病态时。

直接求解方法在处理小型或中型方程组时非常有效，但随着问题规模的增大，它们的计算复杂度和内存需求会急剧增加。因此，在处理大型问题时，通常会考虑使用迭代求解方法或预处理技术来提高求解效率。在实际应用中，选择合适的求解方法需要考虑问题的特性、求解精度要求以及可用的计算资源。

二、迭代求解方法

FVM的迭代求解方法主要用于求解大型或复杂的线性方程组，特别是在计算流体动力学（CFD）和其他工程领域中。这些方法通过逐步逼近的方式来寻找方程组的解，通常需要较少的内存，并且在多核或分布式计算环境中表现良好。

1.雅克比方法（Jacobi Method）：

▪一种简单的迭代方法，每次迭代中，每个未知数的值都是基于当前其他所有未知数的值来更新的。

▪适用于易于并行化的系统，但可能需要较多的迭代次数才能收敛。

2.高斯-赛德尔方法（Gauss-Seidel Method）：

▪类似于雅克比方法，但在每次迭代中，更新未知数的值时会使用已更新的邻近未知数的值。

▪通常比雅克比方法收敛得更快，因为它利用了最新计算的信息。

3.逐次超松弛方法（Successive Over-Relaxation, SOR）：

▪SOR方法结合了雅克比和高斯-赛德尔方法的特点，通过引入一个松弛因子（omega）来平衡解的更新。

▪适当的松弛因子可以显著加快收敛速度，并且该方法可以应用于非线性问题。

4.共轭梯度法（Conjugate Gradient Method, CG）：

▪适用于大型稀疏矩阵，特别是当矩阵是对称正定时。

▪通过构造一系列共轭方向来最小化残量，从而加速求解过程。

▪共轭梯度法不需要存储整个系数矩阵，因此适合处理大规模问题。

5.广义最小残差法（Generalized Minimum Residual, GMRES）：

▪一种Krylov子空间方法，不需要矩阵对称或正定。

▪通过构建一个最小化残差范数的子空间来求解方程组。

▪GMRES对于解决非线性或复杂系统非常有用，但计算成本相对较高。

6.双共轭梯度法（Bi-Conjugate Gradient Stabilized, Bi-CGSTAB）：

▪是共轭梯度法的改进版本，用于处理非对称或不定矩阵。

▪通过引入一个稳定化步骤来提高收敛性和鲁棒性。

7.多重网格方法（Multigrid Methods）：

▪虽然多重网格方法可以是迭代的，但它们通常与直接求解方法结合使用，以加速收敛。

▪通过在不同分辨率的网格上求解问题来提高迭代求解的效率。

8.预处理技术（Preconditioning Techniques）：

▪预处理技术通过变换原始方程组来改善其条件数，使得迭代求解方法更容易收敛。

▪常见的预处理方法包括雅克比预处理、块雅克比预处理、不完全LU分解（ILU）等。

三、混合求解方法

FVM混合求解方法结合了直接求解和迭代求解技术的优点，旨在提高求解效率和稳定性，特别是在处理大规模或复杂系统时。

1.混合迭代-直接求解器（Hybrid Iterative-Direct Solvers）：

▪这类方法通常开始于直接求解器，如高斯消元法或Cholesky分解，然后转换为迭代求解器来完成求解过程。

▪这种方法试图利用直接求解器的高精度和迭代求解器的内存效率。

2.预处理共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）：

▪在共轭梯度法中使用预处理步骤来改善原始方程组的条件数，从而加速收敛。

▪预处理器通常是较简单的求解器，如雅克比或不完全LU分解（ILU）。

3.预处理GMRES（Preconditioned GMRES）：

▪类似于PCG，但在GMRES方法中使用预处理技术。

▪预处理器有助于处理非线性或复杂系统，使得迭代求解过程更加稳定和高效。

4.多重网格-共轭梯度法（Multigrid CG）：

▪将多重网格方法与共轭梯度法结合，使用多重网格技术作为预处理器或求解器的一部分。

▪这种方法特别适合于求解具有多种尺度特性的偏微分方程。

5.多重网格-GMRES（Multigrid GMRES）：

▪与多重网格-共轭梯度法类似，但在GMRES框架内使用多重网格技术。

▪这种方法可以提高求解非线性或大规模问题的能力。

6.阿尔法策略（Alpha Strategy）：

▪一种混合求解器，它结合了直接求解器的稳定性和迭代求解器的内存效率。

▪通过调整参数（阿尔法值），可以在直接和迭代求解之间进行权衡，以优化求解过程。

7.块求解器（Block Solvers）：

▪将问题分解成较小的子块，并分别对每个块应用求解器。

▪块求解器可以是直接的或迭代的，也可以结合预处理技术来提高效率。

8.稀疏直接求解器与迭代求解器的组合：

▪对于稀疏矩阵，可以使用稀疏直接求解器（如超级LU或PARDISO）作为主要求解器，同时使用迭代求解器处理无法直接求解的部分。

来源：CFD饭圈

同为粒子法的SPH和MPS大PK，谁更胜一筹？

SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法和MPS（Moving Particle Semi-Implicit）方法在模拟自由液面的PK： 1. 自由面形状： - SPH方法易于给出更为清晰、光滑的自由面形状。主要是因为SPH方法可以使得粒子移动较为平均，易于形成光滑的自由面。 - MPS方法得到的粒子分布较为凌乱，尤其在自由面变化剧烈时，MPS的自由面形状不如SPH方法光滑。主要是因为MPS方法中的核函数在粒子接近时导致粒子数密度迅速增加，产生较大的压力，从而导致粒子“飞溅”。 2. 收敛性： - 随着初始粒子间距的减小，SPH和MPS方法的计算结果均趋于收敛，并收敛于相近的结果。 - MPS方法的收敛速度比SPH方法快。 3. 时间步长对结果的影响： - 对于SPH方法，时间步长对结果的影响较小，不同的时间步长给出的计算结果十分一致。 - 而对于MPS方法，时间步长的变化会导致计算结果的轻微浮动。。 4. 计算效率： - SPH方法中压力是由状态方程显式给出的，具有很高的效率，但受声速的限制，需要较小的时间步长以满足CFL条件。 - MPS方法基于Poisson方程隐式求解压力，计算量较大，且随着粒子数的增加，计算量增加较快。所以，在计算大型问题时，SPH方法更为合适。 - 由于SPH 的时间步长较MPS方法小10倍，在粒子数较少时，MPS的计算效率较高，但随着粒子数的逐渐增加，MPS的运行时间增加较快，此时SPH 的效率较高。 - 对于粘性流动，MPS方法在每个时间步内需要执行两次邻居粒子搜索，而SPH仅需一次，故用时会略少一些 5. 数值格式上的差异： - SPH方法中，压力是基于状态方程显式计算的，时间积分采用显式格式。 - MPS方法中，压力是通过压力Poisson方程隐式求解的，时间积分采用半隐式格式。 - SPH方法的核函数不仅作为权重函数，其导数直接参与梯度等微分算子的离散格式中。 - MPS方法的核函数仅作为权重函数，梯度的计算还需借助径向函数来完成。 6. 边界条件处理： - 两种方法都需要对固壁边界条件进行特殊处理，以避免粒子穿透和计算失真。 7. 适用性： - 对于处理带有自由面问题的流动，尤其是自由面发生大变形的情况，SPH和MPS方法都具有良好的表现。 - SPH方法因其较高的计算效率和能够给出光滑自由面形状的特性，可能更适合于大型复杂流动问题的模拟。 - MPS方法在每个时间步内需要执行两次邻居粒子搜索，而SPH仅需一次，因此在粘性流动问题中，MPS的计算量较大。 - MPS方法虽然收敛速度快，但由于计算量大，可能更适合于中等规模的问题，或者在可以接受较长计算时间的情况下使用。 SPH方法和MPS方法在处理溃坝问题这类大变形自由面问题时都表现出了较好的可靠性。然而，SPH方法在计算效率和自由面形状的光滑度方面具有优势，而MPS方法在收敛速度上表现更好。SPH方法适合求解大型、中等、小规模复杂流动问题，MPS方法更适合于中等和小规模的流动问题。来源：CFD饭圈