为什么使用代数多重网格AMG方法进行大型CFD仿真
代数多重网格（AMG）求解器为大型计算流体动力学（CFD）仿真提供了稳健的解决方案。代数多重网格AMG（Algebraic Multigrid）和几何多重网格GMG（Geometric Multigrid）是两种用于求解大型稀疏线性系统的多重网格方法。它们都是迭代求解技术，旨在通过在多个分辨率的网格上工作来加速收敛。尽管它们的目标相同，但它们在实现和应用上存在一些关键区别。一、几何多重网格方法GMG是一种基于物理空间的多重网格方法，它利用了问题的几何多尺度性质。在GMG中，问题的解在一系列不同粗细的物理网格上进行求解和传递。GMG的关键特点包括：- 依赖几何信息：GMG需要问题的几何结构信息来创建从细到粗的网格序列。每个粗网格是通过在物理空间中合并相邻的细网格单元得到的。- 限制和插值算子：GMG使用限制算子将细网格的解传递到粗网格，插值算子将粗网格的解传递回细网格。这些算子通常基于几何信息，如单元中心或面的平均值。- V循环和W循环：GMG通过在不同网格层次之间传递解来加速收敛，包括V循环（单一的粗-细网格传递）和W循环（多次粗-细网格传递）。- 适应性：GMG方法特别适合于具有明显多尺度特性的问题，如流体动力学和热传递问题。二、代数多重网格方法（AMG）AMG是一种不依赖于问题的具体几何结构的多重网格方法。它直接在系数矩阵上构建多重网格层次结构，而不是在物理空间中创建网格序列。AMG的关键特点包括：- 无需几何信息：AMG不需要复杂的几何结构信息，适用于各种类型的矩阵，包括那些难以从几何结构生成多重网格的问题。- 粗化策略：AMG通过代数方式（如聚类或矩阵分解）生成粗网格。这个过程不依赖于物理空间的划分，而是通过分析矩阵的结构来确定哪些未知数可以聚合成一个粗网格节点。 - 平滑算子：在每个网格层次上应用迭代求解器（如雅克比、高斯-赛德尔或SOR方法）来平滑误差。- 插值算子：设计算子来在不同网格层次之间传递解，以便在粗网格上计算得到的解可以准确地传递回细网格。- 鲁棒性：AMG方法对于各种类型的矩阵和问题都表现出良好的收敛特性，尤其适用于非结构化网格和复杂几何形状的问题。三、AMG与GMG的比较- 适用性：AMG适用于各种类型的矩阵，尤其是那些难以从几何结构生成多重网格的问题。GMG则更适合于具有明确几何结构的问题。- 实现复杂性：AMG的实现通常不需要对问题的几何结构有深入的了解，而GMG的实现则需要处理网格的创建和细化。- 性能：在某些情况下，特别是对于具有良好多尺度特性的问题，GMG可能提供更快的收敛速度。然而，AMG在处理复杂问题时通常更为鲁棒。- 并行性：两种方法都可以并行化，但AMG由于其代数本质，可能更容易在现代多核和分布式计算环境中实现高效的并行计算。 四、为什么应该使用AMG方法？GMG方法对于流体流动问题非常高效。然而，它有一个非常严重的限制。对于复杂几何体，可能很难甚至几乎不可能生成一个足够小的粗网格，以便在最粗级别解决方程系统。如下图，离心泵的薄叶片导致流体叶片周围的非常小的元素。这也意味着即使是最粗的网格级别也会产生太多的元素，因此产生太多的方程，无法使用GMG的直接求解器解决。AMG方法不需要不同的网格级别。AMG方法中的粗化过程仅基于线性方程组的结构，或者更准确地说，基于代表方程组左侧的矩阵。该方法将矩阵中相连的条目聚合成更少的条目到一个新的较小矩阵中。聚合条目的过程可以重复，甚至可以构建更小的矩阵。然后根据执行的聚合次数为这些矩阵分配不同的级别。然后，对于在不同级别上构建的矩阵，多重网格循环的原理与GMG方法的预平滑、后平滑和最粗级别求解相同。 来源：CFD饭圈
