数值仿真为什么需要生成网格？
1.什么是网格？
网格是CFD、FEA、FDM等模拟过程的基本元素之一。它是由单元格和点（或节点）形成的网络。网格可以有几乎任何形状或大小，并用于求解偏微分方程。网格的每个单元格代表方程的单独解，当与整个网络结合时，可以得到整个网格的解。
如果不将对象划分为更小的部分，可能无法求解整个对象，因为对象内部的复杂性。孔洞、角落和角度可能使求解器极难获得解。另一方面，小单元格相对容易求解，因此是首选策略。
2.什么是网格化（网格生成）？
网格化是在几何体上生成2D或3D网格的方法，以便将其离散化并用模拟进行分析。网格的定义基于几何体的复杂性。
网格和网格技术的历史与数值方法的历史密切相关。Courant、Friedrichs和Lewy的论文可能是有限差分法（FDM）的基本起点，其中引入了如CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）稳定性条件等概念。
历史上，矩形和笛卡尔网格与有限差分法相关，因为它依赖于相邻单元格和节点来近似变量的行为。然而，有限元法（FEM）允许混合类型的网格单元，使得非结构化网格成为可能。用于数值求解问题的变分公式可以追溯到19世纪末到20世纪初Lord Rayleigh和Ritz的工作。
3.仿真为何需要网格离散化？
在CFD、FEA、FDM仿真计算中，求解问题通常涉及到求解描述流体流动的偏微分方程（PDEs），例如纳维-斯托克斯方程。这些方程是连续的，意味着它们在整个求解域内定义。然而，计算机无法直接求解连续的方程，因为它们只能处理离散的数据。因此，需要将连续的求解域转换为离散的形式，这个过程称为网格离散化或网格化。以下是网格离散化的几个关键原因：
数值求解：通过将连续的PDEs转换为离散的代数方程组，CFD软件可以数值求解这些方程。
复杂几何和边界条件的处理：实际的流体流动问题往往涉及复杂的几何形状和边界条件。网格化允许在这些复杂几何上应用边界条件，并在数值方法中考虑这些条件。
控制计算精度和成本：通过网格细化，可以在流动特性变化剧烈的区域提高精度，而在变化平缓的区域使用较粗的网格来降低计算成本。
适应性：网格离散化允许使用自适应网格细化技术，根据流动特性动态调整网格密度，以在保持计算效率的同时捕捉重要的流动特征。
稳定性和收敛性：适当的网格离散化有助于确保数值求解过程的稳定性和收敛性。例如，CFL条件是判断时间步长和空间网格大小的一个重要准则。
物理现象的模拟：网格离散化还可以帮助模拟物理现象，如湍流、传热和物质传递，这些现象在连续介质中的行为可能难以直接用数值方法模拟。
计算资源的有效利用：通过网格化，可以更有效地分配计算资源，因为可以根据问题的需求在关键区域使用更细的网格，在其他区域使用较粗的网格。
多尺度现象的处理：在处理具有多尺度特性的流动问题时，网格化允许在不同尺度上进行适当的离散化，以捕捉从微观到宏观的所有相关现象。
网格离散化是仿真计算中的一个关键步骤，它使得复杂的流体流动问题能够在计算机上数值求解，同时提供了足够的灵活性来处理各种实际问题。
4.网格离散化
数值求解一组偏微分方程（PDEs）的第一步是方程的离散化和问题域的离散化。如前所述，一次性求解整个问题域是不可能的，而求解问题域的多个小部分是完全可以的。
方程离散化过程与有限差分法、有限体积法（FVM）和有限元法等方法相关，其目的是将连续形式的方程转化为代数差分方程系统。域离散化过程生成一组离散单元格，因此，覆盖连续问题域的点或节点。
网格按定义是形成网络的点和单元格的集 合。这个网络可以有多种几何和拓扑形式。通常，网格也称为网格，通常与网格的内在组织有关/或当这些网格与有限差分问题相关时。
网格的每个单元格或节点将根据是在单元格上还是在节点上离散化的方程，持有方程的局部解。离散化的选择是项目决策。
一般来说，当使用有限差分法近似方程时，会使用点离散化，其中偏微分方程通常通过每个点的邻居处的泰勒级数展开来进行近似。有时，点离散化可以与有限体积法一起使用；然而，必须隐式地使用围绕点的单元格。
当方程以弱形式、积分形式或保守形式考虑时，通常在离散单元格上解决积分。例如，在考虑传输现象时，有限体积法可以被表述为代表小体积的离散单元格。然后，可以在假设单元格内部解是恒定的情况下，通过这些单元格平衡通量。
