【经典教程翻译】12-可压缩流的运动方程
对于不可压缩流，速度是通过连续性或动量方程计算的。压力是通过伯努利方程获得的。这种简单的方法不适用于温度不是常数的可压缩流。除了连续性和动量方程外，还需要求解能量方程。后者在流体力学部分针对不可压缩流已经推导过。在这种情况下，它们将在考虑密度变化的情况下应用。这里使用的是基于控制体积的积分方法，如下所示。
方程是在以下假设下推导的：
流动是一维的。
忽略粘性和热传递。
仅考虑由于面积变化引起的流动行为。
流动是稳定的。
图8：可压缩流的控制体积
连续性方程
对于稳定流动，控制体积入口(1)和出口(2)的质量流量必须相等。因此，
写成微分形式，上述方程变为，
动量方程
动量方程的推导与不可压缩流的推导非常相似。基本上，它将作用在控制体积上的净力与进入或离开控制体积的气体动量的速率变化相等。定义 𝑃𝑚Pm 为入口(1)和出口(2)之间的平均压力（见图8），那么对于稳定流动，
对于通过恒定截面积的管道的稳定流动，动量方程采用简单形式，
应当注意，即使在(1)和(2)之间发生摩擦或粘性效应的情况下，上述方程也可以应用。但是，必须在(1)和(2)处不存在这些效应。
能量方程
根据热力学第一定律，对于单位质量，
其中 q 是添加的热量。做的功由下式给出：
只考虑内部能量和动能。因此，
其中 e 是比内能，u 是流速。
代入产生气体流动的能量方程，
注意到焓h=e+P.v，然后
考虑一个绝热过程，q=0，那么，
这个方程要求状态(1)和(2)处于平衡状态，但允许(1)和(2)之间的非平衡条件。
如果流动是这样的，即从(1)到(2)的路径上始终存在平衡状态，那么，在1-2的任何位置，
对上述方程微分，
对于热力学完全气体，即焓 h 仅依赖于温度 T（h=cp*T），上述方程变为，
此外，对于热量完全气体，即 cp 是常数，那么，
停滞条件Stagnation Conditions
上述方程右侧的“常数”可以通过查看流动的停滞条件来确定，就像不可压缩流动的情况一样，或者是在音速（M=1）条件下。
基于停滞条件的常数
当流动被停止时，即 u=0，温度、压力、密度、熵和焓变为“停滞温度” T0，“停滞压力” P0，“停滞密度” ρ0，“停滞熵” s0 和“停滞焓” h0。这些也被称为“总”条件。这与只考虑停滞压力的不可压缩流动形成对比。
上述方程可以重写为，
注意到对于热量完全气体，h=cpT，因此，
得到的常数是 h0 或 cpT0。
应当注意，流动中不一定有停滞点才能使用上述方程。停滞或总条件只是参考条件。对于给定的流动，只有一个停滞条件，尽管实际上这仅对等熵流动才是正确的。在非等熵流动中，不同位置可以有不同的停滞条件，这取决于流动中不同点的能量或热供应。
在绝热流动中（不添加或带走热量的流动），停滞或总温度 T0 不变。即使在存在激波的情况下，这也是正确的，如后所述。然而，总压力 P0 可以在不同点之间变化。考虑图8所示的控制体积，只要流动是绝热的，那么，
为了预测总（停滞）压力的条件，使用热力学第二定律，
对于完全气体，上述方程变为，
由于 (T0)1=(T0)2，
“等于”符号适用于等熵流动，“大于”符号适用于任何非等熵流动。因此，对于涉及耗散的任何自然过程，总压力都会下降。它被等熵流动所保持。非等熵流动的一个例子是激波波。在激波波中，总压力会降低。
面积-速度关系
在不可压缩流动中，速度与面积变化成反比 - 随着提供给流动的截面积增加，速度减小，反之亦然。但是，由于气体中声速的影响，超音速的可压缩流会逆转这种关系。
连续性方程是，
同时考虑欧拉方程（之前对不可压缩流动推导过），
重写方程，
引入声速 
。通过引入马赫数 M=u/a，上述方程变为，
将此代入连续性方程，
图9：亚音速和超音速流对面积变化的响应
应用这个方程会产生图9所示的效果：
对于不可压缩流动，M=0。当流动的截面积减小，速度增加，反之亦然。
对于亚音速流动，M<1，行为类似于不可压缩流动。
对于超音速流动，M>1，当面积减小时速度也减小，当面积增加时速度也增加。对面积变化的所有静态属性都会发生变化。在亚音速速度下，密度变化很小。当提供更大的面积时速度减小（反之亦然）。但在超音速流动中，随着面积的增加，密度下降的速度比速度更快。为了保持连续性，现在速度增加（当面积减少时速度减小）。
上述方程不明显的另一个重要属性是：如果流动的几何形状涉及喉部（两个较大区域之间的狭窄点），那么数学上可以证明，如果流动中发生音速条件（M=1），它只发生在喉部。但反面 - 流动总是在喉部音速，是不正确的。
