【经典教材翻译】15-二维可压缩流动
二维可压缩流动 之前只考虑了一维流动。虽然在自然界中很难找到真正的一维流动，但一维分析允许解释各种概念和一般计算。使用一维概念，可以扩展分析到二维流动，特别是超音速流动。斜激波Oblique Shock Waves 一维流动中发生正常激波。正常激波发生在管道和管子中，但对于许多流动，只遇到斜激波。这些不是垂直于流动的——当超音速流动经过时在楔形物的前端形成的激波，超音速流动中的物体前的激波。这些的例子在图26中被草图化。图26：斜激波的例子图27：斜激波的速度分量考虑图27所示的斜激波。观察速度分量并与正常激波进行比较，很明显现在有一个额外的分量，即切向分量v。考虑这一点并不是一个主要问题。激波机制是这样的，这个分量在斜激波两侧保持不变。然而，法向分量u1确实发生了变化，就好像它遇到了正常激波，并且在通过激波后以u2的值出现。对于正常激波，u2<u1。仔细观察图27可以发现，流动在通过斜激波时会发生转向，并且转向是朝向激波的。斜激波上的关系 激波与来流之间的角度β称为激波角Shock Angle。流动转向的角度θ称为偏转角Deflection Angle。如果M1是来流的马赫数，那么，定义，图27中的斜激波可以看作是一个正常激波，其中来流马赫数等于M1 * sin(β)，但是到处都叠加了一个切向速度分量v。那么，计算斜激波两侧的条件就很简单了。在正常激波关系中，只需将马赫数M1替换为M1 * sin(β)。因此，需要注意的是，M2 * sin(β - θ)是激波下游的法向马赫数分量，等于，其他穿过激波的关系由以下给出，正常激波的上游流动必须是超音速的，即，因此，对于给定的马赫数M1，有一个最小的激波角，由sin-1(1/M1)给出，最大偏转角是π/2。因此，我们对斜激波的条件是，下限β = sin-1(1/M1)给出了一个马赫波，它使流动转向为零。上限β = π/2给出了一个正常激波，它也使流动转向为零，但强烈扰动了流动。这在激波上产生了最大的压力跃变。还应注意，激波下游的法向马赫数分量，M2 * sin(β - θ)必须小于1，即必须是亚音速的。然而，当这个法向分量与切向流动结合时，斜激波背后的速度大小在大多数情况下是超音速的。β和θ之间的关系 对于给定的马赫数M1，可以推导出激波角β和流动偏转角θ之间的关系。这给出了得到很容易看出tan(θ)有两个零点，一个在β = sin-1(1/M1)，另一个在β = π/2。这些对应于我们对激波角β的两个限制。表达式在这两个零点之间还有一个最大值。图28显示了θ和β之间的关系，绘制了不同的马赫数。对于给定的θ值，我们可以看到有两个β值，表明对于给定的流动转向和上游马赫数，有两种可能的激波角。对于给定的马赫数，有一个最大的流动转向，θmax。图28：β和θ之间的关系对于θ < θmax，有两个β值。较小的值给出了所谓的弱解Weak Solution。另一个解称为强解Strong Solution。该图还显示了M2=1的解的轨迹。强解总是产生一个亚音速流动在它下游，即M2 < 1。弱解给出了一个超音速流动在它下游，除了一个狭窄的带，其中θ略小于θmax。超音速流动经过凹角和楔形 以下应用导致斜激波的弱解。例如，流动经过凹角和流动经过楔形。图29：超音速流动经过凹角和楔形图29显示了一个马赫数为M1的超音速流动经过一个与来流成β角的凹角。在角处，由于固体表面上任何一点的法向速度分量必须为零的要求，流动必须通过一个角度θ转向。为了促进这种转向，我们需要在角处形成一个β角的斜激波。对于给定的马赫数和角度θ，可以计算出激波角。相同的理论可以应用于对称或非对称楔形的半角θ，如图29所示。在这两种情况下，激波都是在角或物体的前端形成的。它们被称为附着激波Attached Shocks。由于超音速流动具有有限的上游影响，楔形下表面的流动与上表面的流动是独立的。弱斜激波 对于小偏转角，可以将斜激波关系简化为简单的表达式。这些是，上述表达式表明，激波的强度，由ΔP/P表示，与偏转角θ成正比。可以证明，激波两侧的熵变Δs与偏转角的立方成正比，另一个有用的弱斜激波表达式是穿过它的速度变化，超音速压缩通过转向 激波产生压缩超音速流动的机制。如果流动绕过一个凹角，就会产生一个斜激波。当流动通过激波时，其压力增加。这为压缩提供了一种简单的方法。这种方法的效率将取决于用于产生压缩的形状。首先考虑通过单个斜激波进行压缩。（图30）。流动通过一个角度θ转向，使得在此过程中有能量损失。激波两侧的熵增加，总压力按θ3成比例减小。图30：通过转向压缩超音速流动其次，考虑通过一系列激波，比如说n个，进行压缩。每个激波都是这样的，下游流动是超音速的。每个激波的流动转向角是Δθ = θ/n。因此，通过n个激波，总转向：nΔθ = nθ/n = θ压力变化：nΔP/n = ΔP熵增加：n(θ/n)3 = θ3/n2因此，这种安排提供了与之前相同的压缩，但熵增加大大减少，意味着损失得到了控制。一个极限选项是可能的。如果n趋向于∞。也就是说，压缩是通过无限数量的波，即马赫波来实现的。现在不是凹角，而是一个平滑的凹面（图30中的案例(c)）。现在压缩像以前一样进行，但损失为零，因为，整个过程因此是等熵的，也是最有效的。马赫波的汇聚 图31：马赫波汇聚形成斜激波图32：流动的等熵压缩和膨胀如果压缩是围绕一个凹面通过一系列马赫波进行的，那么当流动通过每个马赫波时，压力上升，马赫数减小。因此，波角μ增加。这导致远离凹面的马赫波汇聚，如图31所示。这种现象称为汇聚Coalescence。波合并成为一个斜激波。当这种情况发生时，流动不再是等熵的，严重的非线性建立起来。如果需要等熵压缩，那么必须使波不汇聚。这可以通过放置一堵墙形成管道来实现，如图32所示。来源：CFD饭圈
