深入探讨一下N-S方程是什么？5000多字篇幅
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations，N-S方程）是控制不可压缩流体运动的偏微分方程。这些方程构成了流体力学的基本方程。
流体在物理域中的运动由各种属性驱动。为了揭示流体流动的行为并发展数学模型，这些属性必须被精确定义，以提供从物理域到数值域的过渡。
在进行流体流动检查时，应同时考虑速度、压力、温度、密度和粘度等主要属性。根据物理现象，如燃烧、多相流、湍流和质量传递，这些属性变化巨大，可以分为运动学、传输、热力学和其他杂项属性。
由控制方程指导的热流体事件基于守恒定律。N-S方程是广泛使用的数学模型，用于检查在动态和/或热相互作用期间这些属性的变化。这些方程可以根据问题的内容进行调整，并基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原则表达：
质量守恒：连续性方程
动量守恒：牛顿第二定律
能量守恒：热力学第一定律或能量方程
尽管有些来源仅指定N-S方程的表达式用于动量守恒，但有些也使用所有物理属性守恒方程。根据流动条件，N-S方程被重新排列以提供积极的解决方案，在这些解决方案中问题的复杂性要么增加要么减少。例如，根据预先计算的雷诺数有一个湍流数值案例，需要应用适当的湍流模型以获得可信的结果。质量、动量和能量守恒方程统称为N-S方程，需要模拟流体流动。
图1：质量、动量和能量守恒方程统称为N-S方程，需要模拟流体流动
1. N-S方程的历史
尽管流体运动是人类探索的话题，但数学模型的发展出现在19世纪末工业革命之后。粘性流体运动的最初适当描述在艾萨克·牛顿爵士Sir Isaac Newton（1687年）的《原理Principia》论文中指出，他研究了恒定粘度下流体的动态行为。
后来，丹尼尔·伯努利Daniel Bernoulli（1738年）和莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler（1755年）相继推导出无粘流的方程，现在表示为欧拉无粘方程。尽管克劳德-路易·纳维埃Claude-Louis Navier（1827年）、奥古斯丁-路易·柯西Augustin-Louis Cauchy（1828年）、西莫恩·德尼·泊松Siméon Denis Poisson（1829年）和阿德马·圣文南Adhémar St.Venant（1843年）进行了研究，探索流体流动的数学模型，但他们忽略了粘性（摩擦）力。
1845年，乔治·斯托克斯爵士Sir George Stokes通过添加牛顿粘性项推导出粘性流动的运动方程，从而使N-S方程达到了最终形式，此后一直用于生成流体流动的数值解。
简言之，N-S方程是由克劳德-路易·纳维埃Claude-Louis Navier和乔治·斯托克斯爵士Sir George Stokes在19世纪的几十年间独立和逐步推导出来的。它们基于将牛顿运动第二定律应用于流体流动，考虑了粘性和压力效应，以描述粘性流体流动。
图2：牛顿、纳维埃和斯托克斯，N-S方程背后的数学家
2. 拉格朗日vs欧拉描述流体运动
基于运动学属性的流体流动观察方法是生成便捷数学模型的基本问题。流体的运动可以通过拉格朗日方法或欧拉方法进行研究。
拉格朗日描述流体运动是基于监测一个足够大以检测属性的流体粒子。 在初始坐标在时间t0和同一粒子在时间t的坐标之间，必须通过几乎不可能跟随的路径检查数百万单独粒子。
在欧拉方法中，不跟随路径上的特定粒子；相反，检查速度场作为时间和位置的函数。 图3中的导弹示例恰好适合强调这些方法。
图3：用拉格朗日和欧拉方法观察流体运动。在拉格朗日方法中，相对于导弹，该人是稳定的，而在欧拉方法中则是相反
拉格朗日运动公式始终是时间依赖的。由于a，b，c是粒子的初始坐标；x，y，z是同一粒子在时间t的坐标。拉格朗日运动描述：
在欧拉方法中，u，v，w是点(x，y，z)处速度的分量，而t是时间。速度分量u，v，w是未知数，它们是独立变量(x，y，z，t)的函数。对于任何特定值t的欧拉方法的运动描述：
在欧拉系统中描述流体运动的守恒方程表达为连续性方程用于质量，N-S方程用于动量，能量方程用于热力学第一定律。这些方程被同时考虑以检查流体和流动场。
3. 质量守恒
控制体积中的质能不能被创造或破坏。质量守恒表明，系统在整个过程中的入口和出口之间的质量流量差异为零：
其中ρ是密度，v是速度，∇是梯度算子；
当密度保持不变时，流体被认为是不可压缩的。然后，连续性简化为下面的形式，表明一个稳态过程：
4. 动量守恒
动量描述运动中的质数，并被测量为物体质量和速度的乘积。由于控制体积中的动量保持不变，动量守恒意味着动量既不会被创造也不会被销毁。它只能通过基于牛顿定律的力的作用而改变。
描述根据牛顿运动第二定律的表达设置：
其中F是作用于任何粒子的净力，a是加速度，m是质量。在流体的情况下，方便地以粒子体积的方程表达如下：
其中f是每单位体积施加在流体粒子上的力，fbody是施加在整个流体粒子质量上的力如下：
其中g是重力加速度。通过流体粒子表面部署的外部力，fsurface通过压力和粘滞力表示为：
其中τij是应力张量。根据斯托克斯给出的牛顿粘性流体的一般变形定律，τij表达为：
因此，牛顿运动方程可以特别指定如下的形式：
将方程(10)代入(11)得到牛顿粘性流体的N-S方程的一个方程：
Ⅰ: 动量对流
Ⅱ: 质量力
Ⅲ: 表面力
Ⅳ: 粘滞力
其中静态压力为p，重力为
。方程(12)适用于流体和流动场，它们都是瞬态和可压缩的。D/Dt表示物质导数如下：
如果流体的密度是恒定的，方程大大简化，其中粘性系数μ被假设为恒定，
在方程(12)中。因此，不可压缩三维流动的N-S方程可以表达如下：
对于每个维度，当速度是V(u, v, w)时
p，u，v和w未知数是通过应用连续性方程和边界条件来求解的。此外，如果问题中存在任何热相互作用，则必须考虑能量方程。
5. 能量守恒
能量守恒是热力学第一定律，它指出添加到系统的功和热的总和将导致系统总能量的增加：
其中dQ是添加到系统的热，dW是系统上完成的功，dEt是系统总能量的增量。能量方程的常见类型是：
其中h是焓，k是热导率。
Ⅰ: 随时间的局部变化
Ⅱ: 对流项
Ⅲ: 压力功
Ⅳ: 热通量其中
Ⅴ: 热耗散项
6. 分析方法与数值方法计算
N-S方程具有非线性结构和各种复杂性，因此几乎不可能进行这些方程的精确解。因此，需要不同的假设来将方程磨成可能的解决方案。
数学模型仅仅给出了整个过程中参数之间的联系。因此，N-S方程的解可以通过分析或数值方法实现。
分析方法只在忽略N-S方程中的非线性和复杂结构的几种假设中提供解决方案。它仅适用于像Couette流动、Poiseuille流动等简单/基本案例。
另一方面，几乎每个流体动力学案例都包含数学模型中的非线性和复杂结构，这些结构不能被忽略。因此，N-S方程的解是在几种数值方法中进行的，常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的普遍存在。
流体流动的逐步计算分析可以描述如图4所示。
图4：准确的域和数值离散化有助于线性化PDEs并捕获敏感的变量梯度
7. 时间域
流体流动的分析可以在稳态（时间无关）或非稳态（时间相关）条件下进行。如果流动是稳态的，这意味着流体的运动和参数不依赖于时间的变化，
连续性和动量方程重新派生如下：
连续性方程：
N-S方程在x方向：
虽然稳态流动假设否定了某些非线性项的影响并提供了方便的解决方案，但密度的变化仍然是一个障碍，使方程保持复杂形式。
8. 可压缩
由于流体的可塑性结构，粒子的可压缩性是一个重要问题。尽管所有类型的流体流动在各种分子结构范围内都是可压缩的，但它们中的大多数可以被认为是不可压缩的，在这些情况下密度变化可以忽略不计。
因此，无论流动是稳态还是非稳态，
都丢弃了项，如下所示：
连续性方程：
N-S方程在x方向：
由于不可压缩流动假设提供了合理的方程，稳态流动假设的应用同时使我们能够忽略非线性项
。
话虽如此，速度超过临界极限的高速流动不能被认为是不可压缩的。 这由马赫数（Ma）决定。马赫数是一个无量纲数，将流动速度与周围介质中的声速进行比较。它的计算如下：
其中Ma是马赫数；v是流动速度；a是流动介质中的声速，是其温度的函数。
当马赫数小于0.3时，流动可以被认为是不可压缩的。
当马赫数大于0.3 - 即高速流动 - 密度的变化不可忽视，流动被认为是可压缩的。 例如，如果汽车的速度超过100 m/s，进行可信数值分析的适当方法是可压缩流动。除了速度，地流体中密度变化的热属性影响也必须考虑。
9. 雷诺数对N-S方程的影响
雷诺数（Re）是惯性和粘性效应的比率，它影响N-S方程在截断数学模型方面。当雷诺数接近无穷大（∞）时，粘性效应被认为是可以忽略不计的，N-S方程中的粘性项被丢弃。
因此，N-S方程的简化形式，被描述为欧拉方程，可以指定如下：
N-S方程在x方向：
尽管粘性效应对流体相对重要，但无粘流模型部分地为某些特定情况提供了可靠的数学模型来预测实际过程。例如，高速外部流动在物体上是一个广泛使用的近似值，其中无粘方法合理地适合。而
，惯性效应被认为是可以忽略不计的地方，N-S方程中相关项消失。N-S方程的简化形式被称为蠕动流creeping flow或斯托克斯流Stokes flow：
N-S方程在x方向：
具有实际粘性效应的蠕动流是研究熔岩流动、微生物游泳、聚合物流动或润滑的合适方法。
10. 使用N-S方程建模湍流
流体在动态条件下的行为可以被分类为层流和湍流。层流有序，流体的运动可以被精确预测。湍流具有混沌行为，因此难以预测。
雷诺数预测流体流动的行为，无论是层流还是湍流，关于几种属性，如速度、长度、粘度和流动类型。
当流动是湍流时，选择适当的数学模型进行数值解。文献中有各种湍流模型，每种模型都有稍微不同的结构来检查混沌流体流动。
湍流可以应用于N-S方程，以模拟混沌行为。 除了湍流的层流传输量，它由瞬时值驱动。直接数值模拟（DNS）是使用瞬时值解决N-S方程的方法。具有在广泛范围内变化的不同波动，DNS需要巨大的努力和昂贵的计算设施。
为了避免这些障碍，瞬时量通过它们的平均值和波动部分的总和来重新建立，如下所示：
其中u, v和w是速度分量，T是温度。图5显示了稳态和非稳态条件下值之间的差异：
图5：瞬时、平均和波动速度；a) 稳态过程，b) 非稳态过程
避免引起非线性的瞬时值，使用平均值进行数值解提供了一个适当的数学模型，被称为“雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程”。
波动对于大多数工程案例可以忽略不计。因此，RANS湍流模型是封闭平均流方程组的过程。雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程的一般形式可以指定如下：
连续性方程：
N-S方程在x方向：
RANS湍流模型在方法上有所不同，如k-omega、k-epsilon、k-omega-SST和Spalart-Allmaras。同样，大涡模拟（LES）是另一种用于湍流的数学方法，也广泛用于几种情况。强大的LES确保比RANS更准确的结果，但需要更多的时间和计算机内存。与DNS一样，LES解析较大的涡旋，但对较小的涡旋进行建模。
N-S方程的简单形式仅包括在动态条件下单相层流的速度、压力和密度等属性的变化。大多数工程应用需要进一步的数学模型进行数值模拟。一些常见的工程问题及其相关的数学模型如下所示：
管道中的气流：单相流，层流/湍流，稳态/非稳态
明渠中的水流：多相流，层流/湍流，稳态/非稳态
气缸中的燃烧：多相流，层流/湍流，非稳态，化学反应，热传递，质量传递
水的冷凝/蒸发：多相流，层流/湍流，非稳态，热传递，质量传递
11. 微流体的N-S方程
N-S方程无法补偿非常小尺度下流动的物理模型，例如单个细菌的运动 - 也称为微流体学microfluidics。因此，方便地更改或用适当的数学模型替换纳维-斯托克斯模型。
克努森数Knudsen number（Kn）是一个无量纲数，是分子结构的平均自由程与观测尺度的比率。根据克努森数的首选模型如图6所示：
图6：根据克努森数流动的流体的首选数学模型
12. 实时仿真
N-S方程甚至在动画/视频游戏世界中也被认为是至关重要的。为了生成实时动画，这些方程的应用提供了惊人的结果，增强了现实感。它们是现代视频游戏在许多方面看起来比几年前更逼真的原因。想想风中旗帜的移动：在现代游戏中这不是绝对逼真吗？！
