CFD数值仿真的5类边界条件，你了解几种？
边界条件是解决边界值问题所必需的约束。边界值问题是要在已知边界上一组条件的域中解决的微分方程（或微分方程组）。它与“初始值问题”相对，后者只知道区间一端的条件。
边界值问题非常重要，因为它们模拟了从固体力学到热传递、流体力学和声学扩散等大量现象和应用。它们自然地出现在每个基于空间中要解决的微分方程的问题中，而初始值问题通常指的是要解决的时间问题。
边界值问题已由Jacques Charles François Sturm（1803-1855）和Joseph Liouville（1809-1882）广泛研究，他们研究了二阶线性微分方程的特征值。他们研究了保证微分问题解的存在性和唯一性的条件，以及边界条件如何影响解。Sturm-Liouville理论对于任何计算问题都极为重要，因为它使我们能够理解问题是否“良定义”以及如何可能获得解。
1. 边界条件的类型
普通和偏微分方程都需要解决边界条件（B.C.）。可以在域的边界上施加不同类型的边界条件（图1）。边界条件的选择对于计算问题的解决至关重要：不良的B.C.施加可能导致解的发散或错误解的收敛。
有五种类型的边界条件：
第一类边界条件（Dirichlet边界条件）
第二类边界条件（Neumann边界条件）
第三类边界条件（Robin边界条件）
混合边界条件
Cauchy边界条件
图1：解析域和边界
2. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）
Dirichlet边界条件是以Peter Gustav Lejeune Dirichlet（1805–1859）命名的一种边界条件。
这种条件指定了未知函数需要在域的边界上取的值。例如，对于拉普拉斯方程，具有Dirichlet边界条件的边界值问题写为：
其中 𝜑 是未知函数，
是独立变量（例如空间坐标），Ω 是函数域，∂Ω 是域的边界，𝑓是在 ∂Ω上定义的给定标量函数。在数值模拟的框架内，它通常直接施加在要解决的代数系统中。让我们考虑从数值算法导出的以下代数系统：
其中 𝑘𝑖𝑗是代数算子（例如刚度矩阵）的元素，𝑥𝑖是未知数（即问题的自由度），𝑎𝑖 是已知项。在 𝑛th自由度上施加Dirichlet边界条件的最简单方法是按以下方式修改系统：
其中 𝑓是𝑛th自由度必须取的值。
3. 第二类边界条件（Neumann边界条件）
Neumann边界条件是以Carl Neumann（1832 – 1925）命名的一种边界条件。当它被施加在普通（ODE）或偏微分方程（PDE）上时，它指定了解的导数在域的边界上将取的值。例如，对于拉普拉斯方程，具有Neumann边界条件的边界值问题写为：
其中 𝑛是边界表面的单位法向量，如果 Ω⊂𝑅3。
在ODE的情况下（即 Ω⊂𝑅1），边界上的法向导数与全局导数 𝜑’重合。在通过有限元方法解决时间依赖性问题（而不是更常见的有限差分）的罕见情况下，这种类型的边界条件是最常见的。Neumann边界条件也被称为“自然natural”条件，因为它自然地出现在任何有限元方法的弱形式发展中。让我们考虑以下简单方程：
其中 𝑢是未知标量场，𝑝是给定的标量函数。这个方程规定了许多现象，例如一维的热扩散和梁的张力/压缩。有限元方法包括将方程从微分（强）形式重写为积分（弱）形式。这种转换通过两个步骤完成：
1.测试和积分：
其中 𝜈(𝑥)是形状函数。
2.应用格林定理以获得导数的均匀分布并避免高阶导数：
右手边的边界项的存在突出了Neumann边界条件的两个属性：
齐次Neumann B.C.s（Homogeneous Neumann B.C.s）满足而无需任何显式施加。
由于Dirichlet B.C.s通常通过修改右手项来应用，因此在施加Dirichlet B.C.的所有边界上施加齐次Neumann条件。
4. 第三类边界条件（Robin边界条件）
Robin边界条件是以Victor Gustave Robin（1855–1897）命名的一种边界条件。它由场的值及其在边界上的导数的线性组合组成。
例如，对于拉普拉斯方程，具有Robin边界条件的边界值问题写为：
其中 𝑎和 𝑏是实数参数。这个条件也被称为“阻抗条件impedance condition”。
5. 混合边界条件
混合边界条件包括在域的不同部分应用不同类型的边界条件。需要注意的是，边界条件必须应用于整个边界：“自由”边界无论如何都要受到齐次Neumann条件的约束。
混合边界条件与Robin条件不同，因为后者包括对同一边界区域应用不同类型的边界条件，而混合条件意味着对边界的不同部分应用不同类型的B.C.
6. Cauchy边界条件
Cauchy边界条件是对未知场及其导数的条件。它与Robin条件不同，因为Cauchy条件意味着施加两个约束（1个Dirichlet B.C. + 1个Neumann B.C.），而Robin条件意味着只对未知函数及其导数的线性组合施加一个约束。
7. 边界条件在流体力学的应用
7.1 Dirichlet边界条件
在计算流体力学中，经典的Dirichlet边界条件包括某些节点必须取的一组节点的速度和/或压力的值。通常根据以下术语引用一些b.c.集：
滑移边界条件：边界上的法向速度设置为零，而边界平行的速度被留自由。
无滑移边界条件：边界上的法向速度和边界平行的速度都被设置为零。
至少需要在压力上施加一个齐次B.C.（即 𝑝=0 p=0）作为开放域的参考，例如在空气域的最高边界。
7.2 Neumann边界条件
主要在两种情况下使用速度或压力场的导数的约束。第一种情况是应用对称平面：
由于这个条件总是与Dirichlet B.C.一起应用，它自然满足。第二种应用是模拟墙摩擦，当它与应变率成比例时：
7.3 Robin边界条件
Robin B.C.用于描述部分吸收波的半反射墙。这不是一个非常常见的应用，并且只能用于基于压力的模型。这种B.C.主要用于声学应用。
8. 边界条件在热力学的应用
8.1 Dirichlet边界条件
在热力学中，Dirichlet边界条件包括在三维问题中保持固定温度的表面。
8.2 Neumann边界条件
热力学中的Neumann边界条件代表边界上的热通量。完美绝缘体反映了齐次条件（自然满足），而所有加热和冷却的边界都需要显式分配边界条件。这通常是电子元件（向内热通量）或外部冷却喷雾/通道（向外热通量）的情况。
另外，上面五种边界条件类型在固体力学和电磁学方面的应用，不在本文讨论范围，感兴趣的可以找相关资料自行了解。
