【经典教材翻译】15-二维可压缩流动

图26：斜激波的例子

图27：斜激波的速度分量

考虑图27所示的斜激波。观察速度分量并与正常激波进行比较，很明显现在有一个额外的分量，即切向分量v。考虑这一点并不是一个主要问题。激波机制是这样的，这个分量在斜激波两侧保持不变。然而，法向分量u1确实发生了变化，就好像它遇到了正常激波，并且在通过激波后以u₂的值出现。对于正常激波，u₂<u₁。

仔细观察图27可以发现，流动在通过斜激波时会发生转向，并且转向是朝向激波的。

定义，

图27中的斜激波可以看作是一个正常激波，其中来流马赫数等于M₁ * sin(β)，但是到处都叠加了一个切向速度分量v。那么，计算斜激波两侧的条件就很简单了。在正常激波关系中，只需将马赫数M₁替换为M₁ * sin(β)。因此，

需要注意的是，M₂ * sin(β - θ)是激波下游的法向马赫数分量，等于，

其他穿过激波的关系由以下给出，

正常激波的上游流动必须是超音速的，即，

因此，对于给定的马赫数M₁，有一个最小的激波角，由sin^-1(1/M₁)给出，最大偏转角是π/2。因此，我们对斜激波的条件是，

下限β = sin^-1(1/M₁)给出了一个马赫波，它使流动转向为零。上限β = π/2给出了一个正常激波，它也使流动转向为零，但强烈扰动了流动。这在激波上产生了最大的压力跃变。

还应注意，激波下游的法向马赫数分量，M₂ * sin(β - θ)必须小于1，即必须是亚音速的。然而，当这个法向分量与切向流动结合时，斜激波背后的速度大小在大多数情况下是超音速的。

这给出了

得到

很容易看出tan(θ)有两个零点，一个在β = sin^-1(1/M₁)，另一个在β = π/2。这些对应于我们对激波角β的两个限制。表达式在这两个零点之间还有一个最大值。图28显示了θ和β之间的关系，绘制了不同的马赫数。对于给定的θ值，我们可以看到有两个β值，表明对于给定的流动转向和上游马赫数，有两种可能的激波角。对于给定的马赫数，有一个最大的流动转向，θmax。

图28：β和θ之间的关系

对于θ < θmax，有两个β值。较小的值给出了所谓的弱解Weak Solution。另一个解称为强解Strong Solution。该图还显示了M₂=1的解的轨迹。强解总是产生一个亚音速流动在它下游，即M₂ < 1。弱解给出了一个超音速流动在它下游，除了一个狭窄的带，其中θ略小于θ_max。

图29：超音速流动经过凹角和楔形

图29显示了一个马赫数为M₁的超音速流动经过一个与来流成β角的凹角。在角处，由于固体表面上任何一点的法向速度分量必须为零的要求，流动必须通过一个角度θ转向。为了促进这种转向，我们需要在角处形成一个β角的斜激波。对于给定的马赫数和角度θ，可以计算出激波角。相同的理论可以应用于对称或非对称楔形的半角θ，如图29所示。

在这两种情况下，激波都是在角或物体的前端形成的。它们被称为附着激波Attached Shocks。由于超音速流动具有有限的上游影响，楔形下表面的流动与上表面的流动是独立的。

上述表达式表明，激波的强度，由ΔP/P表示，与偏转角θ成正比。可以证明，激波两侧的熵变Δs与偏转角的立方成正比，

另一个有用的弱斜激波表达式是穿过它的速度变化，

首先考虑通过单个斜激波进行压缩。（图30）。流动通过一个角度θ转向，使得

在此过程中有能量损失。激波两侧的熵增加，总压力按θ³成比例减小。

图30：通过转向压缩超音速流动

其次，考虑通过一系列激波，比如说n个，进行压缩。每个激波都是这样的，下游流动是超音速的。每个激波的流动转向角是Δθ = θ/n。因此，通过n个激波，

总转向：nΔθ = nθ/n = θ

压力变化：nΔP/n = ΔP

熵增加：n(θ/n)³ = θ³/n²

因此，这种安排提供了与之前相同的压缩，但熵增加大大减少，意味着损失得到了控制。

一个极限选项是可能的。如果n趋向于∞。也就是说，压缩是通过无限数量的波，即马赫波来实现的。现在不是凹角，而是一个平滑的凹面（图30中的案例(c)）。现在压缩像以前一样进行，但损失为零，因为，

整个过程因此是等熵的，也是最有效的。

图31：马赫波汇聚形成斜激波

图32：流动的等熵压缩和膨胀

如果压缩是围绕一个凹面通过一系列马赫波进行的，那么当流动通过每个马赫波时，压力上升，马赫数减小。因此，波角μ增加。这导致远离凹面的马赫波汇聚，如图31所示。这种现象称为汇聚Coalescence。波合并成为一个斜激波。当这种情况发生时，流动不再是等熵的，严重的非线性建立起来。

如果需要等熵压缩，那么必须使波不汇聚。这可以通过放置一堵墙形成管道来实现，如图32所示。