理解几何非线性分析 - 从晾衣服开始?
几何非线性在结构分析中非常重要。今天我将通过实际例子而不是理论来讨论几何非线性分析的基础知识。
我们将学到什么
我会用简单的实际例子解释几何非线性实际是怎么回事,不涉及复杂理论。
我选择的例子在线性和非线性方法中会产生截然不同的结果。虽然很多情况下两种方法的结果几乎相同,但也有许多情况需要非线性方法,我会展示其中一些示例。
从简单的事物开始:晾衣服!
我喜欢简单的实际例子。谈到几何非线性,最好的例子就是晾衣绳。
想象一下,一件湿毛衣重5kg,挂在5米长的绳子上,会产生0.0625kNm的弯矩。看起来很小,对吧?但是绳子直径只有5mm。这种截面的截面模量是0.0123cm^3。这意味着为了承受毛衣的重量(作为梁),绳子需要承受5081MPa的应力...比钢材强20倍。 很难相信它具有如此巨大的强度。然而它确实可以承受...这个例子展示了典型的线性方法。也许你注意到我的例子有点作弊 - 我没有画出任何变形!实际上,很容易计算出变形。如果我的绳子是钢制的,变形会达到20.2m。 想象一下这可怜的绳子要伸长多少才能变形那么多(5米长的绳子变形20米!)。这个问题让我们更理解几何非线性...这就是大变形理论的应用之处。当绳子变成非线性时
你看,绳子不可能像线性方法计算的那样伸长20.2m。但它肯定会有一些伸长!这种伸长会在绳子中产生拉力。反过来,这个拉力会稳定整个系统,减少变形! 在大变形情况下,假设绳子是钢制的,变形只有57mm。如果是尼龙绳,变形约为237mm,此时的力只有0.26kN(相比之下钢丝的力为1.07kN)。很容易相信绳子能够以某种方式承受相当于26kg的拉力。
看看上面的示意图。假设我把绳子从中间剪断,有一个拉力N(就是我们刚刚计算的)把绳子往"里"拉。在绳子固定的墙上,水平方向有一个反作用力,也等于N。这两个力形成一对力,可以承受载荷产生的"力矩"。这是一个简化,但很好地描述了实际情况。 你可以很容易地验证上述内容。在线性情况下,我们得到0.0625kNm的弯矩。在非线性情况下,钢丝变形57mm,拉力为1.07kN。0.057m x 1.07kN = 0.061kNm。在第二个例子中,尼龙绳变形237mm,拉力为0.26kN。0.237m x 0.26kN = 0.0616kNm。两个结果虽然不完美,但非常接近,这显示了如何思考这个问题。通过对绳子直径和载荷参数化,获得变形与拉力的响应,可以得到:- 随绳子直径增加,轴向拉力先增大后减小,呈抛物线关系;
注意!这里有个陷阱!
有人可能会得出结论,认为几何非线性是积极的,"忽视"它就是安全的。不幸的是,事实并非如此:想验证这一点吗?试试用同样的绳子,但换个晾衣服架。不要把两端都固定在墙上,而是把一端简单地放在桌子上。对于典型的梁来说,这不是问题(杆子仍然承担垂直力)。但我们都凭直觉知道绳子会怎么样,对吧? 几何非线性既不是积极的也不是消极的...它就是客观存在的! 想象你在两根柱子之间挂了一根晾衣绳。从绳子的角度来看,几何线性是"不好的。这是因为你在线性设计中估算的力会大大高估实际情况。 另一方面,对于柱子来说,线性方法实际上是不保守的。它考虑了从绳子传递的垂直载荷,但完全忽略了水平力。这意味着柱子中不会有弯曲,这在线性静力分析中会导致不保守的设计。 如你所见,几何非线性"有利于"绳子但"不利于"柱子。不幸的是,你不能选择是否使用它...它总是存在的! 这里需要补充一点。假设按照线性静力分析,你设计绳子来承受计算出的弯矩(在线性情况下)。那么我们就不再有"绳子",而是有了"梁"。这种情况会导致变形小得多,进而柱子上的水平力会小得多。也许甚至可以忽略不计或根本不存在。这就是为什么静力设计是可行的。 如果模型的变形很小,几何非线性的影响也会很小。唯一的问题是,有时很难猜测变形是否"小到足以"忽略几何非线性。 在这个例子中,我们还应该考虑另一件事。如果柱子在垂直方向上承受很大的载荷,非线性方法中看到的变形会在柱子中引入偏心。这会导致额外的弯曲(通常称为二阶弯曲),在某些情况下可能非常重要。这也是几何非线性效应。 几何非线性分析是结构设计中非常有用的工具。如果你遇到在承载过程中变形很大的元素,这是最佳方法。如果线性方法在你的情况下是正确的,你会从几何非线性分析中得到相同的结果。然而,如果情况应该使用这种非线性,那么这是获得正确解决方案的唯一选择。它在处理次要弯曲方面也很出色,模型的变形会导致垂直于变形方向的载荷,引起额外的弯曲。 在结构设计中,关于线性/非线性屈曲也是一个有趣的讨论,这与分析中的几何线性/非线性密切相关。