4.4 矢量和张量代数

        可以证明，从数学意义上讲，应力和应变都是二阶张量【2, 4, 7】，因此张量代数的规则在聚合物力学中非常重要。对于初学者来说，二阶张量可能起初看起来复杂而抽象。这个想法受到不同书籍中张量符号写法各异的影响。这里的做法是将讨论限制在聚合物力学中常用的结果上，而不过多强调数学证明。如果感兴趣，读者可以参考许多关于数学细节的资源【1-4, 9】。在聚合物力学中，三个重要的变量类型是标量（如温度、密度）、矢量（如力、速度）和二阶张量（如应力、应变）。在一些文本中，标量被称为零阶张量，矢量被称为一阶张量。在这里，我们不会使用这些术语，二阶张量将简单称为张量。

4.4.1 矢量运算

        矢量表示三维空间中的方向和大小。下面的例子中，一个矢量用粗体字母或带有下标的字母表示，例如：

在这个例子中，[ˆe1, ˆe2, ˆe3]是一组正交基矢量。在这里以及后续部分，单位长度的向量用上标帽号表示，例如，ˆe1。方程(4.10)中的最后一项展示了爱因斯坦重复指标求和约定的用法：如果一个项中的两个变量具有相同的下标，那么该下标应以1、2和3的值重复。例如：

        当处理向量时，有一些常用的运算方法。以下是最常用的向量函数和操作的简要概述。

向量的长度，也被称为范数：

两个向量的加法或减法可以通过将向量的各个分量相加或相减来计算：

一个标量与一个向量可以通过将标量与向量的每个分量相乘来进行相乘：

有多种方式可以将两个向量相乘。第一个方式是通过点积，它的定义为：

这里θ是两个任意向量u和v之间的夹角。请注意，两个向量的点积变成一个标量。将两个向量相乘的第二种方式是通过叉积，其定义为：

其中符号的组合由下式定义：

两个向量的叉乘得到一个向量，且其与原来的两个向量相互正交。

4.4.2 二元乘积（并矢积）

第三种将两个向量a和b相乘的方法是通过叉积（或张量积），表示为a ® b。叉积是一个二阶张量，在下一节将会更详细地讨论，并可以通过它在任意向量x上的作用来定义：

两个向量之间的叉积也可以更直观地写成一个3x3矩阵：

通常，任何一般张量都可以写成九个叉积项（也称为叉积）的和：

下面常用的一阶张量和向量或二阶张量(A)之间的左乘和后乘关系如下：

这些关系的证明已经在各种教材中讨论过，这里留作练习。