你知道应力张量吗？张量的Voigt 表示法

Voigt 符号以物理学家 Woldemar Voigt 的名字命名，是对称张量的缩写符号。基于张量的索引表示法，将两个索引按照特定的规则“组合”成一个索引。二阶张量一般有 9 个分量，可以概括为 3x3 矩阵：

对称张量也有 9 个分量 - 但只有 6 个独立分量，因此您可以将其写得更短：

6个分量 也可以排列成6×1列矩阵（列向量），而不是排列成3×3方阵。3×3 矩阵的元素由两个索引来表征，而 6×1 列矩阵的元素则由一个索引来表征 - 因此有必要减少索引。在右图中，您可以看到 6×1 列向量的索引和 3×3 矩阵的索引之间最常用的映射。

使用“收缩”规则将对称张量的 6 个分量组合成 6 × 1 列向量，称为张量的 Voigt 表示法（分量）。

弹性理论中的 Voigt 符号

应力张量和应变张量

对于应力张量，定义：

Voigt列向量的分量只有一个索引。这些特征可用于确定是使用 Voigt 表示法还是经典表示法来表示数量。在经典张量表示法中，应力张量的分量有两个指数，总结在矩阵  中。由于对称性，独立分量的数量为6。在 Voigt 表示法中，这些分量排列在列向量中，因此只能通过一个索引来寻址。 Voigt 列向量的 6 个分量，即。

应变张量使用了稍微不同的“收缩”，即：

不同的是 Voigt 向量最后 3 个分量的因子 2。该因素确保：

F是应变能。

颜色编码：每个红色 Voigt 向量分量都分配有一个张量分量。每个蓝色 Voigt 向量分量都被分配了两个张量分量，例如：

 刚度张量

如果 4阶张量的分量  在 (i,j) 索引对和 (k,l) 索引对中对称，则前后索引对可以具有相同的索引“收缩”规则将其视为二阶张量。然后可以将 3×3×3×3=81 个张量分量分配给 6×6 Voigt 矩阵。前一对索引产生的索引成为 6×6 矩阵的第一个索引，因此：

因此，每个红色Voigt矩阵分量都被精确地分配了一个张量分量。每个蓝色 Voigt 矩阵分量都被恰好分配了两个张量分量。每个黑色 Voigt 矩阵分量都被分配了恰好四个张量分量。例如。：

有 9 个红色、18 个蓝色和 9 个黑色（总共 36 个）Voigt 矩阵分量。所有 3×3×3×3=81 个张量分量都被分配，因为：

 物质法则

线弹性理论中的材料定律是变形和应力之间的线性映射。在张量表示法中，这是链接二阶张量的四阶张量。

这里使用爱因斯坦求和约定。例如，这 9 个方程之一是：

在 Voigt 表示法中，对应的映射是 6×6 矩阵。

对两种符号等效性的要求形成了两者的连接：

具有 4 个索引假定第一个和最后两个索引对称，即 。由于应变和应力张量的对称性，这是可能且常见的，而不失一般性。由于势的存在， 是对称的，对于张量表示法来说，它与  是对称的。即以下适用：

 放纵

如果根据下式假设柔度S 而不是刚度 C

如果要求 S 具有与之前 C 所要求的相同的对称性，则可以得到以下 Voigt 符号中的表示：

张量表示法与 Voigt 表示法的比较

Voigt 表示法的优点和缺点

Voigt 表示法比全张量表示法更加紧凑，并且 Voigt 刚度矩阵可以轻松求逆。此外，很容易看出线性材料定律（C 的对称性适用）通常包含 21 个独立值（材料常数）。如果C满足进一步的对称性，则常数的数量进一步减少。

这些优点被一些缺点所抵消：其他“收缩规则”也是可能的，例如：。Voigt 符号只是最常见的形式。 或  不是（既不是同变也不是逆变）向量。因此，当坐标发生变化时，它们不会像向量一样进行变换。这同样适用于 Voigt 表示法中具有多个索引的对象。例如，如果将 Voigt 表示法中的“向量”解释为向量，并像往常一样在相关向量空间  上定义一个范数，则必须声明以下一般情况适用：

其中右侧是 3×3 矩阵向量空间的通常范数。

等价表示法

Voigt 符号相当于张量的详细索引符号。更确切地说：

人们可以很容易地证明这两种符号的等价性。例如是

 替代符号

其他“合并规定”也是可能的。例如，以 Nye 命名的应力张量的分量符号为：

应变张量分量的Nye符号为：

其他符号以开尔文和曼德尔命名。应力张量的曼德尔表示法为：