Voigt 符号以物理学家 Woldemar Voigt 的名字命名,是对称张量的缩写符号。基于张量的索引表示法,将两个索引按照特定的规则“组合”成一个索引。二阶张量一般有 9 个分量,可以概括为 3x3 矩阵:
对称张量也有 9 个分量 - 但只有 6 个独立分量,因此您可以将其写得更短:
6个分量 也可以排列成6×1列矩阵(列向量),而不是排列成3×3方阵。3×3 矩阵的元素由两个索引来表征,而 6×1 列矩阵的元素则由一个索引来表征 - 因此有必要减少索引。在右图中,您可以看到 6×1 列向量的索引和 3×3 矩阵的索引之间最常用的映射。
使用“收缩”规则将对称张量的 6 个分量组合成 6 × 1 列向量,称为张量的 Voigt 表示法(分量)。
对于应力张量,定义:
Voigt列向量的分量只有一个索引。这些特征可用于确定是使用 Voigt 表示法还是经典表示法来表示数量。在经典张量表示法中,应力张量的分量有两个指数,总结在矩阵 中。由于对称性,独立分量的数量为6。在 Voigt 表示法中,这些分量排列在列向量中,因此只能通过一个索引来寻址。 Voigt 列向量的 6 个分量,即。
应变张量使用了稍微不同的“收缩”,即:
不同的是 Voigt 向量最后 3 个分量的因子 2。该因素确保:
F是应变能。
颜色编码:每个红色 Voigt 向量分量都分配有一个张量分量。每个蓝色 Voigt 向量分量都被分配了两个张量分量,例如:
如果 4阶张量的分量 在 (i,j) 索引对和 (k,l) 索引对中对称,则前后索引对可以具有相同的索引“收缩”规则将其视为二阶张量。然后可以将 3×3×3×3=81 个张量分量分配给 6×6 Voigt 矩阵。前一对索引产生的索引成为 6×6 矩阵的第一个索引,因此:
因此,每个红色Voigt矩阵分量都被精确地分配了一个张量分量。每个蓝色 Voigt 矩阵分量都被恰好分配了两个张量分量。每个黑色 Voigt 矩阵分量都被分配了恰好四个张量分量。例如。:
有 9 个红色、18 个蓝色和 9 个黑色(总共 36 个)Voigt 矩阵分量。所有 3×3×3×3=81 个张量分量都被分配,因为:
线弹性理论中的材料定律是变形和应力之间的线性映射。在张量表示法中,这是链接二阶张量的四阶张量。
这里使用爱因斯坦求和约定。例如,这 9 个方程之一是:
在 Voigt 表示法中,对应的映射是 6×6 矩阵。
对两种符号等效性的要求形成了两者的连接:
具有 4 个索引假定第一个和最后两个索引对称,即 。由于应变和应力张量的对称性,这是可能且常见的,而不失一般性。由于势的存在, 是对称的,对于张量表示法来说,它与 是对称的。即以下适用:
如果根据下式假设柔度S 而不是刚度 C
如果要求 S 具有与之前 C 所要求的相同的对称性,则可以得到以下 Voigt 符号中的表示:
Voigt 表示法比全张量表示法更加紧凑,并且 Voigt 刚度矩阵可以轻松求逆。此外,很容易看出线性材料定律(C 的对称性适用)通常包含 21 个独立值(材料常数)。如果C满足进一步的对称性,则常数的数量进一步减少。
这些优点被一些缺点所抵消:其他“收缩规则”也是可能的,例如:。Voigt 符号只是最常见的形式。 或 不是(既不是同变也不是逆变)向量。因此,当坐标发生变化时,它们不会像向量一样进行变换。这同样适用于 Voigt 表示法中具有多个索引的对象。例如,如果将 Voigt 表示法中的“向量”解释为向量,并像往常一样在相关向量空间 上定义一个范数,则必须声明以下一般情况适用:
其中右侧是 3×3 矩阵向量空间的通常范数。
Voigt 符号相当于张量的详细索引符号。更确切地说:
人们可以很容易地证明这两种符号的等价性。例如是
其他“合并规定”也是可能的。例如,以 Nye 命名的应力张量的分量符号为:
应变张量分量的Nye符号为:
其他符号以开尔文和曼德尔命名。应力张量的曼德尔表示法为: