首页/文章/ 详情

你知道应力张量吗?张量的Voigt 表示法

2月前浏览694

Voigt 符号以物理学家 Woldemar Voigt 的名字命名,是对称张量的缩写符号。基于张量的索引表示法,将两个索引按照特定的规则“组合”成一个索引。二阶张量一般有 9 个分量,可以概括为 3x3 矩阵:

对称张量也有 9 个分量 - 但只有 6 个独立分量,因此您可以将其写得更短:

6个分量 也可以排列成6×1列矩阵(列向量),而不是排列成3×3方阵。3×3 矩阵的元素由两个索引来表征,而 6×1 列矩阵的元素则由一个索引来表征 - 因此有必要减少索引。在右图中,您可以看到 6×1 列向量的索引和 3×3 矩阵的索引之间最常用的映射。

使用“收缩”规则将对称张量的 6 个分量组合成 6 × 1 列向量,称为张量的 Voigt 表示法(分量)。

弹性理论中的 Voigt 符号

应力张量和应变张量

对于应力张量,定义:

Voigt列向量的分量只有一个索引。这些特征可用于确定是使用 Voigt 表示法还是经典表示法来表示数量。在经典张量表示法中,应力张量的分量有两个指数,总结在矩阵  中。由于对称性,独立分量的数量为6在 Voigt 表示法中,这些分量排列在列向量中,因此只能通过一个索引来寻址。 Voigt 列向量的 6 个分量,

应变张量使用了稍微不同的“收缩”,即:

不同的是 Voigt 向量最后 3 个分量的因子 2。该因素确保:

F是应变能。

颜色编码:每个红色 Voigt 向量分量都分配有一个张量分量。每个蓝色 Voigt 向量分量都被分配了两个张量分量,例如:

 刚度张量

如果 4阶张量的分量  在 (i,j) 索引对和 (k,l) 索引对中对称,则前后索引对可以具有相同的索引“收缩”规则将其视为二阶张量。然后可以将 3×3×3×3=81 个张量分量分配给 6×6 Voigt 矩阵。前一对索引产生的索引成为 6×6 矩阵的第一个索引,因此:

因此,每个红色Voigt矩阵分量都被精确地分配了一个张量分量。每个蓝色 Voigt 矩阵分量都被恰好分配了两个张量分量。每个黑色 Voigt 矩阵分量都被分配了恰好四个张量分量。例如。:

有 9 个红色、18 个蓝色和 9 个黑色(总共 36 个)Voigt 矩阵分量。所有 3×3×3×3=81 个张量分量都被分配,因为:

 物质法则

线弹性理论中的材料定律是变形和应力之间的线性映射。在张量表示法中,这是链接二阶张量的四阶张量。

这里使用爱因斯坦求和约定。例如,这 9 个方程之一是:

在 Voigt 表示法中,对应的映射是 6×6 矩阵。

对两种符号等效性的要求形成了两者的连接:

具有 4 个索引假定第一个和最后两个索引对称,即 由于应变和应力张量的对称性,这是可能且常见的,而不失一般性。由于势的存在, 是对称的,对于张量表示法来说,它与  是对称的。即以下适用:



 放纵

如果根据下式假设柔度S 而不是刚度 C

如果要求 S 具有与之前 C 所要求的相同的对称性,则可以得到以下 Voigt 符号中的表示:


张量表示法与 Voigt 表示法的比较

Voigt 表示法的优点和缺点

Voigt 表示法比全张量表示法更加紧凑,并且 Voigt 刚度矩阵可以轻松求逆。此外,很容易看出线性材料定律(C 的对称性适用)通常包含 21 个独立值(材料常数)。如果C满足进一步的对称性,则常数的数量进一步减少。

这些优点被一些缺点所抵消:其他“收缩规则”也是可能的,例如:Voigt 符号只是最常见的形式。 或  不是(既不是同变也不是逆变)向量。因此,当坐标发生变化时,它们不会像向量一样进行变换。这同样适用于 Voigt 表示法中具有多个索引的对象。例如,如果将 Voigt 表示法中的“向量”解释为向量,并像往常一样在相关向量空间  上定义一个范数,则必须声明以下一般情况适用:


其中右侧是 3×3 矩阵向量空间的通常范数。

等价表示法

Voigt 符号相当于张量的详细索引符号。更确切地说:

人们可以很容易地证明这两种符号的等价性。例如是

 替代符号

其他“合并规定”也是可能的。例如,以 Nye 命名的应力张量的分量符号为:

应变张量分量的Nye符号为:

其他符号以开尔文和曼德尔命名。应力张量的曼德尔表示法为:



来源:ABAQUS仿真世界
理论材料
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-09-01
最近编辑:2月前
yunduan082
硕士 | 仿真主任工程... Abaqus仿真世界
获赞 152粉丝 211文章 304课程 0
点赞
收藏
作者推荐

Abaqus/Explicit精确轮廓接触功能应用

Abaqus/Standard和Explicit求解器以其解决一系列力学仿真场景的综合功能而闻名,尤其是求解非线性时。在力学环境中,非线性可能来自模型变形时几何刚度的变化、材料响应或“边界非线性”,这(通常)表现为零件之间的接触状态模拟的装配体的形状会随着求解过程而变化。在Abaqus的最近几个版本中,投入了大量的开发工作来缩小Abaqus中用于定义和跟踪接触的传统“接触对”方法与“通用接触”方法之间的功能差距,后者始于Abaqus/Explicit,但已随着时间的推移迁移到Abaqus/Standard。随着功能、鲁棒性和整体性能的提高,“常规接触”越来越成为指定接触交互属性的首选方法,然后将其留给求解器来计算何时应用它们是最有效的方法,因为解决方案继续进行。对于此类改进的示例,请考虑定义梁单元和相邻表面之间的接触的情况。在此工作流程中,历史上处理与梁单元接触的最可靠方法是使用节点到表面的交互,其中基于节点的表面是由底层梁单元形成的:它有效,但完全忽略了形状应用于梁单元的截面。然而,很长一段时间以来,用户还能够使用“外接圆形”轮廓将截面的接触表面近似为均匀的杆状轮廓:更好,但仍然不理想,特别是考虑到丰富的可以在Abaqus中定义的内置截面轮廓。从Abaqusv2023开始,用户可以要求解算器使用分配给梁单元的精确轮廓来定义与相邻实体的接触面,这是一个很大的改进。用户不再需要在2D或3D中对非圆形形状进行网格划分来创建接触面,这一切都可以在1D中完成分析。更好的是,在GUI或关键字选项中配置常规接触时,只需单击一个按钮即可激活此功能,如下所示。图1–通用接触精确梁横截面激活选项所有这些都在下面的示例中汇集在一起,其中具有六边形轮廓的梁单元在非常不均匀的表面上滚动。可见的六边形形状是在底层梁单元上以几何方式渲染的定义轮廓,以便能够看到正在发生的情况。此外,如上所示,在实体之间的交互处,启用了“一般接触”和“梁横截面分配”选项。在这种情况下,一个通用接触“所有外部”定义只需点击几下按钮即可(真正)处理所有这些复杂性。图2–包括激活的精确梁横截面选项的通用接触模型示例为了说明这会产生机械上正确的响应,链接图显示了梁线上的一个节点由于相邻主体的轮廓而上升和下降时的垂直位移,加上六角形的角导致梁线上的额外凸起输出。这只是Abaqus的功能在每个新版本中得到改进和扩展的一个例子,但还有更多。来源:ABAQUS仿真世界

未登录
还没有评论
课程
培训
服务
行家
VIP会员 学习 福利任务 兑换礼品
下载APP
联系我们
帮助与反馈