信号采样长度、时间间隔和频率的关系

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1．问题
动态信号中蕴含着设备的状态变化和故障特征的丰富信息，采集信号的准确和真实与否直接关系到进一步诊断设备故障原因和采取的措施。工程领域的各种信号随时间的变化表现为多种形式，如简谐的、周期的、瞬态的、随机的等等，这些被检测的信号由于系统传递路径、环境噪声的影响和各种机械元件的联合作用，构成信号的成分很复杂。同一个故障状态可能由于采样的时间和长度的不同，得出大相径庭的结论，会对设备的检修造成不同的结果。

2．原因
在采样过程中合理确定间隔和长度，是保证采样得到的数字信号能够真实反映原信号的基本条件。如果采样间隔Δt取得大，则采样频率fs(fs=1/Δt)低，当fs低于所分析信号的最高频率fmax的二倍时，就会引起“频率混淆”现象，使得原信号中的频率成分出现在数字信号中完全不同的频率处，造成信号的失真。图1示出了原始信号中的最高频率fmax与采样频率fs之间的关系。从图中看出，当采样频率大于二倍最高分析频率时，采样结果均能反映原始波形中的最高频率成分，即采样频率应满足条件：　

　fs≥2fmax　　　　　　　　　         （1）
式中2fmax称为奈奎斯特（Nyquist）采样频率。如果fs＜2fmax，
如图中的c, d, e,则原始的高频率波形被误认为低频现象（图中虚线所示），这样就会引起频率混淆。
为了不产生频混现象，解决的办法之一就是提高采样频率，使之满足（1）式的要求。
3．分析
采样长度T是指能够分析到信号中的最低频率所需要的时间纪录长度。如果信号中含有最低频率为fl，采样后要保持该频率成分，则采样长度应为：　        T>fl/2                （2）
因此，采样长度不能取得太短，否则进行频率分析时，在频率轴上的频率间隔Δf(Δf=1/T)太大，频率分辨率太低，一些低频成分就分析不出来。
另外，采样长度T与采样点数N,采样时间间隔Δt成正比，
即：         T=NΔt＝N/f           （3）
如果采样长度T取得较长，虽然频率分辨率得到了提高，但在△t不变的情况下，采样点数N增多，使计算机的工作量增大；当N不变时，则采样的时间间隔Δt增大，采样频率降低，所能分析的最高频率fmax也随之降低，因此需要综合考虑采样长度、采样点数和采样频率的关系问题。
在一般信号分析仪中，采样点数是固定的，取为 N＝256,512，1024,2048 点几个档次，各档分析频率范围f取决于采样频率的高低，
即：         fc＝fs/2.56＝1/(2.56Δt)    (4)
则在频率轴上的频率间隔为：

Δf＝1/T=1/(NΔt)＝2.56 fc/N＝（1/100，1/200，1/400，1/800）fc （5）
频谱图上的线条数为：

n＝fc/Δf=N/2.56＝100，200，400，800 （6）
对于一台具体的分析仪器，当采样点数N(或谱线条数n)固定后，它的频率分析范围取决于采样间隔Δt(或采样频率fs)；最低分析频率取决于采样长度T(或频率分辨率)。例如，某台分析仪器的采样点数为N＝1024，采样时间间隔Δt＝0.4ms，采样长度为T＝0.4s（实际为0.4096），
则可分析的频率范围为fc＝1/(2.56Δt)＝（2.56 ×0.4×l0-3）-1≈1 kHz；
最低的分析频率为f1＝1/(2.56Δt)＝（2.56 ×0.4）-1≈1 Hz；
在频率轴上的频率间隔为Δf＝1/(NΔt)＝（1024×0.4×l0-3）-1＝2.44Hz。
某些场合，如分析齿轮箱的振动信号，既要求高的分析频率fmax，又要求具有较高的频率分辨率（即Δf较小），这对一般动态分析仪是难以实现的，为此可采用频率细化（ZOOM）技术，对感兴趣的频段提高它的频率分辨率，用以确定在高频段内具体的某些间隔频率很小的频率成分。即所谓的“局部频率扩展”。经过细化处理后的频谱，在感兴趣的频段内具有很高的分辨率，仔细观察可以得出一些在标准谱上得不到的故障信号。
例如：美国Monsanto石油化工公司用以拖动一台关键设备的齿轮减速箱，其输人轴与输出轴呈直角布置，输人轴转速为1200r/min，输出轴转速为52.7r/min，中间经过二级减速。减速箱已运行18个月，在输入轴一端产生很高幅度的振动。对振动信号进行频谱分析，得到图2所示的时域和频域图。图2a为强烈震动前的原始频谱，谱图上主要是输人轴小齿轮的啮合频率及其倍频成分。图2b为故障状态的频谱，图中除了啮合频率及其倍频成分之外，还出现了大量的边频。取100-200Hz频段内的边频进行细化处理，得到图2c所示的细化谱，它清晰地显示出20Hz (1200r/min )的频率间隔，此即输人的转速频率，也就是说啮合频率为转速频率所调制。根据边带形状特征，初步怀疑是高速轴上的小齿轮发生了断齿。然后又从时域信号上进行观察，得到图2d所示的波形图，图中显示了小齿轮每转动一周有一个脉冲信号，表明小齿轮有一断齿或发生局部故障的迹象，停机打开齿轮箱检查，证实了这一判断。

4．总结

综上所述，采集信号的时间间隔和长度，对得出的结论正确与否有直接影响。对一故障信息采取何种间隔和长度，目前没有定论，只能根据机器的状态、种类、故障表现结合经验做出决定。结合细化谱分析，可以提高判断的准确率。如果在缺乏先进仪器细化功能的情况下，常规仪器不能准确决断，只能先对频率进行分段，在不同的频率段采用不同的间隔和长度，加大采样量以提高采样的精确度，从而降低误判率。这当然会加大工作量，如果经验丰富，直接对相关频率段进行采样，根据实际情况调整采样时间间隔和长度，可以减少一部分不必要的工作量。