数字孪生与核反应堆中的随机计算

来源：守中穷数

核能的应用历史可以追溯到20世纪初，但真正的发展起点是在1942年，当时第一个人造的核裂变链反应实验在美国芝加哥大学成功进行，这标志着人类掌握了利用核能的能力。

核能最早的应用之一便是在第二次世界大战期间，用于制造核武器。美国的曼哈顿计划成功研发了两种类型的核弹，分别在1945年对日本的广岛和长崎进行了投放，这是核能首次被用于军事行动。

随后，核能开始被用于和平目的，特别是用于发电。1954年，世界上第一座商业核反应堆在前苏联启用，用于发电和供热。1956年，英国的卡尔德霍尔核电站成为世界上第一座专为发电而建造的核反应堆。

时至今日，核能仍然是一种重要的可持续能源形式，这一点从2000年全球共有434座核电站产出350,442兆瓦电（MWe）的事实中可见一斑。其中包括252座压水反应堆（PWR），包括俄罗斯的VVER反应堆，92座沸水反应堆（BWR），以及34座气冷反应堆（GCR）。除此之外，还有34座重水冷却反应堆、15座石墨调速反应堆（RBMK - Reaktor Bolshoy Moshchnosti Kanalny）和2座液态金属快增殖反应堆（LMFBR）。在美国，核电厂目前提供约19%的电力，在全球范围内则提供14-15%的电力。

为了强调不确定性量化在这种预测设计环境中的核心作用，我们总结了轻水反应堆的基本组件以及用于量化底层物理过程的模型方面的知识。

轻水反应堆利用普通水，即轻水，作为冷却剂和中子减速剂。这与加拿大（CANDU）和印度（AHWR）使用的重水反应堆不同。两种主要的设计，PWR（压水反应堆）和BWR（沸水反应堆），如图所示。在美国，目前有104座核电厂，其中69座为PWR，35座为BWR。

BWR示意图

在所有核反应堆中，通过反应堆核心中的受控核裂变产生热量。如图所示，核心包含核燃料棒、控制棒和充满水的通道。燃料棒长约12英尺，内含铀或氧化铀颗粒。控制棒内含诸如镉或铪之类的元素，这些元素能吸收中子，从而减缓链式反应。

在沸水反应堆（BWR）中，燃料包壳传递的热量将轻水转化为蒸汽，这些蒸汽直接驱动涡轮机，然后利用次级的湖水、河水或海水凝结。而在压水反应堆（PWR）中，冷却剂在高压下循环流过核心，使其保持液态，尽管温度上升至大约315°C。这种热的一级冷却剂随后流经热交换器，在那里它在隔离的二级冷却剂中产生蒸汽，该蒸汽反过来驱动涡轮机。两种冷却源的分离防止了二级冷却源的意外放射性污染，如福岛核电站所发生的事故，福岛是一座BWR。我们注意到，一个1100兆瓦电的PWR核心可以包含超过50,000个燃料棒和约193个燃料组件中的1800万燃料颗粒。

为了维持链式反应，快速裂变中子必须在与铀互动前被减速。这一过程被称为减速或热化，在轻水反应堆中，这一功能直接由冷却水提供。

轻水反应堆具有一个重要的稳定性特性，那就是随着温度的升高，水的密度会降低。这反过来又减少了对中子的减速作用，进而减缓了链式反应。这种负反馈循环意味着，如果核反应突然激增，冷却剂将会对其进行调节。如果因为某种事故导致冷却剂丢失，那么减速剂的缺失将停止主动裂变。然而，即便如此，仍会有大约5%的衰变热量持续1-3年，如果没有提供足够的冷却，这种热量足以使核心熔化。虽然衰变热量并不像主动裂变那样危险，但它仍是与轻水反应堆设计相关的一个风险因素。

当速度减缓至与原子核的热速度相当时，这些中子被称为热中子。热中子能更有效地与铀原子核发生反应，从而维持核裂变链反应。

轻水反应堆利用这种中子的热化过程来维持核链反应的精确控制。通过调整控制棒的位置，可以精细地控制中子吸收率，实现对反应堆功率的控制。控制棒的插入和提取通过吸收或释放更多的中子来增加或减少链式反应的速率。

在紧急情况下，如果需要迅速关闭反应堆，控制棒可以完全插入到核燃料组件中，以迅速吸收中子并停止裂变反应。然而，即使在反应堆关闭后，由于燃料棒中的放射性同位素继续衰变产生热量，仍然需要持续的冷却来防止过热。这就是为什么即使反应堆已经停止运行，仍然需要积极的冷却系统来管理衰变热量并防止潜在的熔毁事故。

PWR与RBMK反应堆的对比

PWR（压水反应堆）与切尔诺贝利核电站使用的RBMK设计截然不同。RBMK反应堆使用石墨作为中子减速剂。这种设计的稳固性较差，易于快速动态变化，这被认为是切尔诺贝利灾难的原因之一。与此相反，PWR使用轻水作为减速剂和冷却剂，这提供了更高的安全性。

PWR通过两种主要机制来控制所产生的功率：插入或抽出吸收中子的控制棒，以及改变溶解在反应堆冷却剂中的硼酸浓度。后者的作用方式类似于控制棒，因为硼具有很强的吸中子能力。通过调整硼酸浓度，可以精细地控制反应堆中的中子总量，进而控制反应堆的功率。

与PWR不同，BWR（沸水反应堆）则通过调整冷却水的流速来控制反应堆功率。通过改变冷却水的流量，可以控制对燃料棒的冷却效果，进而影响核反应的速度。流量增加会增强冷却效果，从而减慢核反应的速度；相反，流量减少则减弱冷却，核反应速度加快。

总结来说，PWR和BWR都有其各自的机制来维持和调控核反应堆的功率水平，以确保安全和稳定地运行。对于PWR来说，控制棒和硼酸是实现这一目标的关键工具，而BWR则依赖于冷却水的流速调节。

核反应堆中冷却剂的行为特性非常复杂。它包括了高压、两相流动态、燃料中的热传导、热交换以及在复杂几何结构中的中子相互作用。而且，这些特性对于反应堆设计至关重要，因为准确地定量空泡分布率和沸腾过渡对于优化性能和维持安全裕度是必不可少的。我们仅示例热工水力模型（Thermal-Hydralic）中最简单的设定。

针对热工水力方程的数值求解，已经开发了多种软件包。其中包括在爱达荷国家实验室（INL）开发的RELAP5、CATHARE、FLICA4和COBRA。，RELAP5-3D提供了多维流体动力学和反应堆动力学建模能力。CATHARE软件包允许将反应堆冷却剂循环系统模拟为相互连接的子模块，而FLICA4结合了三维两相流体模拟能力与一维燃料热传导。COBRA是一种子通道代码，其子通道间距构成了最细的横向网格。所有这四种软件都提供了指定各种现象学封闭条件的能力。

此外，像西屋这样的核能公司也开发并使用了它们自己的热工水力代码，比如VIPRE-W。这些软件工具在核反应堆设计、运行和安全分析中起到了关键作用，它们帮助工程师们模拟和分析在极端操作条件下冷却剂的行为，从而确保反应堆的安全运行。

在核反应堆模型中，与天气和气候模型类似，存在四种主要的不确定性和误差来源：输入不确定性、模型误差、数值误差以及测量误差。

• 模型误差：就像大气科学关系，热工水力关系是基于质量、动量、能量和物种浓度守恒得到的，只能算得上是对真实物理定律的近似。热工水力关系在用于表征核反应堆内复杂流体动力学的现象学模型中展示了不同程度的不确定性。这些不确定性可能显著影响核反应堆模型所做预测的准确性和可靠性。

• 测量误差：由于核反应堆的精密设计，由此产生的耦合系统高度非线性，并且在较小网格尺寸上数学难以解决和验证。例如，COBRA中的横向网格分辨率不能超过子通道的尺寸。在RELAP5代码手册中指出，所采用的方程系统是不适定的，这就需要使用人为阻尼来获得对核反应堆分析可行的数值解。测量不确定性包括了测量过程中的仪器误差和数据处理误差。

• 输入不确定性：涉及到初始条件、边界条件以及模型参数的不准确或不完整的知识。

• 数值误差：是由计算过程中的近似造成的，比如时间和空间离散化。

为了处理这些不确定性和误差，模型验证和不确定性量化成为了核反应堆安全分析中的关键环节。模型验证通常涉及将模型预测与实验数据进行比较，以检验模型的准确性。不确定性量化则旨在评估输入参数的不确定性如何传递至模型输出，以及这些不确定性对预测结果的影响。

总之，理解并量化核反应堆模型中的不确定性和误差对于提高模型预测的准确性、优化设计和确保运行安全至关重要。这要求模型开发者和工程师运用综合的方法论，包括高质量的实验数据、先进的数值方法和全面的不确定性分析技术。

在核反应堆设计领域，相关的感兴趣量涉及以下几个关键指标。

空隙率分布与沸腾转变的界限规范

为了保证核反应堆在指定的性能水平和安全边际下运行，我们必须为空隙率分布和沸腾转变指定准确的界限。在数学语言中，假设  表示空隙率，目标是确定一个函数  ，它能够界定  的合理范围，即要求在所有可能的运行条件下都满足  。这里的  描绘了在既定性能和安全标准内允许的最大空隙率。

限制燃料包壳外部沉积物（CRUD）的条件

燃料包壳外部的沉积物（CRUD）必须被限制在预定的水平之内。我们需要指定操作条件，使得CRUD的生成和积累不超过某一规定的阈值。用公式表达，如果  表示CRUD的水平，则有  ，其中  表示CRUD的最大允许水平。

新型包壳材料、燃料材料和燃料棒几何的确定

我们需要确定新的包壳材料、燃料材料以及燃料棒的几何形状，这些新材料和设计要在性能上有平均的指定提升，并且增强抵抗损坏的能力。数学上，这涉及到定义性能函数  和抵抗损坏函数  ，并寻找材料和设计参数，使得  和  都达到改善目标  。

规定产生特定水平辐射损伤、机械热疲劳和腐蚀的条件

需要确定核反应堆操作的条件，以产生指定水平的辐射损伤、机械热疲劳和腐蚀。这要求量化条件  （辐射），  （疲劳）和  （腐蚀），并满足  ，  和  ，其中  ，  和  分别是对应损伤类型的安全阈值。

在所有情况下，为了对感兴趣量提供预测性估计并量化并减少不确定性，必须确定测量、输入、模型和数值的不确定性。通过这种方式，我们可以确保核反应堆设计的可靠性和安全性得到切实保障。

在人类利用科学的历史上，不确定性常常扮演着捉弄的角色，给人们带来深重挫败和灾难。当然，人们也从中学习了许多，与不确定性共舞。Probality Risk Assessment（概率风险评估）起源于1979年的三里岛核电站事故和1986年的挑战者号航天飞机灾难。结构化PRA涉及定义复杂多组分、多物理问题的系统故障，识别可能导致系统故障的基本事件，构建故障树来关联组件事件与系统故障，并将事件的联合概率与系统故障的概率相联系。

事件概率的分配可以是定量的，也可以是定性的，即使用专家意见来为各种情景分配概率，就像在气候模型中一样。在现如今，金融相关领域的风险管理是在不确定性下优化的一个例子。这涉及到使用随机和模糊编程等优化技术，其目标是在不确定性存在的情况下减轻风险。