屈曲分析是怎么回事-线性屈曲
线性屈曲
结构屈曲是结构在受到压力载荷时，在受载过程中突然改变了结构的原有变形模式，变成了另一个平衡状态，这个模式的转变叫做结构的失稳。结构在这种状态下可能只有很弱的承载能力，并且因为发生了变形使结构可能失去原有的设计功能。
图1.一端固定一端自由的理想柱的受压
在大学课程里，我们学过材料力学里的压杆稳定，而其中的临界系数则是基于欧拉公式推导的。欧拉研究了一个一端固定、另一端自由的受压理想的柱状结构，而理想柱状结构是指完全笔直，并且载荷在中心的直杆(没有偏心距)。在图1的(1)中是一个正常轴向受压压缩过程，并且应力不超过结构材料的屈服强度，在(2)加一个水平载荷的扰动时，使其有一个小的挠曲，当这个扰动载荷消失后，杆能够恢复到原始的直线平衡状态，也就是在图1中的(1)(2)是弹性平衡的稳定状态。当轴向压力超过临界值时，施加一个扰动载荷并且去除后，扰动产生的挠曲不仅不会消失，还会继续扩大，直到达到一个偏离原始直线的、新的弯曲形态的平衡状态，如图1中(3)(4)的状态。
屈曲可以使结构在没有达到屈服时就丧失承载能力。这种情况并非是结构的强度不足，而是稳定性不够，因此在设计校核时不能通过选用高强度材料来提高结构的屈曲稳定性。常见结构屈曲问题包括：压杆稳定、梁的侧向弯扭屈曲、薄壁的扭转屈曲和弯扭屈曲。同时根据结构屈曲的形状，将结构屈曲分为整体屈曲或局部屈曲，局部屈曲是部分结构发生鼓包或者凹陷，但是整体仍然保持稳定和承载能力。局部和整体屈曲失效形式见图2：
图2.生活中的屈曲失效
由于结构承受载荷没有达到结构材料的屈服强度时，就可能发生屈曲，所以此时结构材料的应力-应变关系仍在线弹性范围内，因此可以应用线性分析来确定结构的临界载荷。而临界载荷则是通过计算结构在给定载荷下的特征值。
在这里面，我们以一个左端铰接(约束x、y方向自由度)，右端支撑(约束y方向自由度)进行理论分析，具体结构见图3，压杆在力F的作用下弯曲变形：
图3.长直杆示意图
在求临界载荷前，我们首先需要知道梁的变形与梁的位移，在平面弯曲下，梁的轴线弯曲成平面曲线，而这个曲线叫做挠度曲线。根据弯曲可知，梁的纯弯曲满足：
上式中M为弯矩，
为图3中x处的曲率半径，而在数学中曲率公式为：
在小挠度情况下，分母中的
为小量，表示曲线的转角，y(x)中图3中x处曲线的高度，以此分母中的二阶小量可以忽略，然后上式可以转化为(下式中的正负号与坐标取向有关)：
.........（1）
上面我们说明了小挠度微分方程的建立，然后根据图3，在轴向坐标为x的直杆截面上的弯矩为：
........(2）
结合(1)(2)两个式子，可以得到：
........(3)
然后令 
，进而可以得到：
........(4)
然后方程(4)的解为：
........(5)
根据图3压杆的边界形式，y(0)=0,y(L)=0，其中L为杆的长度，通过这两个边界条件，可以得到：
.......(6)
有式(6)可知sin(kL)=0,然后可以得到
(n=1,2.....)，这样再根据，可以得出图3下的临界载荷为：
当n=1时，就得到了最小的临界载荷。
同样我们可以通过上面的推导过程，算出其他压杆的临界载荷计算公式，具体如下表：
表1.几种压杆屈曲的临界载荷
下面我们以一个一端固定，一端自由的压杆进行有限元分析和理论计算，设杆的截面为正方形，边长为10mm，杆长为400mm，杆的弹性模量为210GPa(钢材)，根据表1可以计算出最小的临界载荷为2695N(其中的截面惯性矩可以自行查书)。然后我们再进行有限元的线性屈曲分析：
a.网格划分：网格大小选择1mm，采用实体六面体单元
图4.网格划分
b.边界：在左端施加固定约束(约束3向平动)，右端加单位压力载荷，共121个节点，所以载荷共计121N。
图5.约束和载荷
在optistruct中是基于线性静载和正则模态分析的方法计算出屈曲因子，所以还需要加一个EIGRL的模态分析卡片，ND阶数设置为1即可，也就是算出最小的临界载荷：
图6.EIGRL卡片设置
c.分析步设置：
(1)静载分析步：添加固定约束及压力载荷
图7.静载分析步设置
(2)线性屈曲分析步：添加约束、静载分析步以及模态分析方法
图8.线性屈曲分析步设置
d.计算结果：
经过计算，我们可以看到一阶弯曲模态如下：
图9.一阶弯曲模态
然后我们在线性屈曲分析步中可以看到屈曲因子为22.32，由于之前设置的压力载荷共为121N，所以最小临界载荷仿真结果为2700.72N，与理论计算的2695N相差0.2%。基本一致。
图10.屈曲因子
。
END
