有限元中分布荷载是如何转换到节点荷载的，两种方法，你喜欢哪一种？

寒江雪_123

28天前浏览1071

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在有限元计算中，节点荷载和分布荷载是常见的荷载类型。节点荷载指的是荷载被施加在节点（通常指的是有限元模型的网格节点）上，分布荷载是指荷载被施加在“区域”上。

例如，在建筑结构中，楼面的恒荷载，活荷载通常分布在楼板上，结构受的重力分布在整个结构上。甚至，更极端一点的说法可以是，在现实世界中，真正的节点荷载实际上是不存在的，实际中无论施加的荷载具有多小的施加面积，该施加面积都不会是无穷小，而是一个有限的施加面积，因此都可以认为是“分布荷载”。

然而在有限元计算中，最终形成的线性方程组并不能直接将分布荷载考虑进去，因此通常需要把分布荷载转化为节点荷载，再在线性方程组的右端项中将该节点荷载引入。常见的把分布荷载转化为节点荷载的方法主要有两种：

1. 一致荷载法

一致荷载法指的是利用虚功原理，采用插值函数把分布荷载集总到单元的节点上，具体过程可如下：

推导后的公式十分简洁，每个节点分配的荷载就是将分布荷载按照形函数分配在各个节点上。

以四边形单元为例：

如图中的均布荷载，如采用一个4节点单元将分布荷载分配到节点的过程为：

4节点四边形对应的边为2节点一维线单元，一维线单元的形函数：

对应的节点分配荷载为：

由此可见，对于一阶单元受均布荷载，各个节点分配到的荷载相等。

当采用二阶单元时，

此时分布荷载对应的节点为2,3,6。按照上述步骤：

因此，采用二阶单元时，边节点分配到的荷载是角节点的4倍

2.集总荷载法

与一致分布载荷法不同，集总荷载法采用一种更为直观的“人为”的方式把分布荷载分配到节点。具体为：先对分布荷载与对应的分布荷载面积进行积分，再平均分配到各个节点上。

很显然，当采用一阶单元时，这种方法与一致分布载荷法结果一致；而采用二阶单元时，二者则有一些区别，仍以上面的荷载形式为例，承受均布荷载对应的节点为2,3,6节点，其中，6节点是边节点，2,3是角节点。

把2-6的分布荷载均匀分布到2,6节点，则：

把3-6的分布荷载均匀分布到3,6节点，则：

因此，节点6分配到的荷载为：

因此，采用二阶单元时，边节点分配到的荷载是角节点的2倍。

由此可见，对于二阶单元，采用一致载荷和集总载荷转换分布荷载后得到的节点的分配载荷大小有所区别。采用一致载荷分配的中间节点分配到的荷载会更大一些，在有限元程序编写中，你更喜欢哪一种呢。

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来源：有限元术