流体力学仿真揭秘“任意球”的奥妙

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2024年欧洲杯淘汰赛，德国对阵丹麦，京多安任意球一锤定音，2 : 0 送丹麦回家。

足球比赛中，当你听解说员说到“香蕉球”、“落叶球”、“电梯球”时，你能说出他们的区别吗？更关键的是，怎样才能踢出这些匪夷所思的球呢？今天就带你一起来认识一下这三种经典任意球，并结合流体力学理论和仿真软件Simdroid来探究一下踢出这些球的关键因素。

一、初识“香蕉球”、“落叶球”、“电梯球”

香蕉球，因为球的运行轨迹类似香蕉形状的弧形，因此以“香蕉球”得名。这种球一般速度不快，但是带着强烈的侧旋（左右旋转），球的运行轨迹在后半程会突然“拐弯”，使得此类任意球可以从人墙的一侧绕过之后突然折回，飞入球门。如下图（左）为巴西球星卡洛斯的一记经典“香蕉球”，下图（右）则是香蕉球运行轨迹示意图。

卡洛斯-香蕉球

香蕉球运行轨迹

而落叶球，和香蕉球类似，只是落叶球的旋转不是水平面内的侧旋，而是在竖直平面内的前后旋转。因此“落叶球”可以近似地看作是在竖直平面内的“香蕉球”。这种球可以从防守球员头顶越过人墙后，突然“拐弯”，坠入球门。

C罗-落叶球

落叶球运行轨迹

和左右旋转的香蕉球、前后旋转的落叶球都不相同，电梯球几乎不旋转，但踢出速度很快，且在最后阶段也不是抛物线轨迹（抛物线轨迹上升段和下落段是对称的），而是突然“拐弯”后并近乎竖直下坠。见下图（左）C罗的进球及下图（右）的轨迹示意图。

C罗-电梯球

电梯球运行轨迹

然而在实际的足球比赛中，这三种球并不是很容易分辨的：一方面在比赛中，进球往往发生在眨眼之间，球迷在极短的时间里很难清晰地看到足球的运行轨迹；另一方面，“完全不旋转”、严格意义上的“左右侧旋“或是“前后旋转”，都是很难做到的，或多或少都有些偏差。因此大多数情况下，这三类进球的特征经常是杂合在一起的，只是某一种特征会相对明显一些。如很多时候电梯球也有旋转，也经常带有“落叶球”甚至是“香蕉球”的某些特征。这也是现实中，即便是资深足球迷也时常分不清这三类进球的主要原因。

二、足球突然“拐弯”的奥秘

从以上描述中可知，这三种球的精妙之处在于它们都能够在绕过人墙后突然拐弯，飞入球门。现在我们就利用流体力学知识和仿真软件Simdroid，一起来探索足球“拐弯”的奥秘。

我们使用仿真软件Simdroid的二维流体分析模块来计算足球与空气的相互作用。模型如下图（左）所示，圆形代表球截面，矩形区域为空气。给球一个逆时针旋转的角速度，并给定一个稳定的入口速度来模拟空气与球的相对速度，即球的飞行速度，出口则为压力出口，上下为壁面。网格剖分如下图（右）所示。

几何模型和边界条件

网格模型

经过计算，得出球周围的空气流速和压力分布如下图所示：

速度分布

压力分布

从分析结果可以看出，球两侧的空气速度和压力有明显的差异。且流速大的地方，压强小；流速小的地方，压强大。这时两侧压力不平衡使得球受到一个如下图所示的侧向力F，流体力学中称之为马格努斯力。

马格努斯效应示意图

在此侧向力的作用下，球会产生侧向加速度，并随着时间的积累，会产生越来越大的侧向速度U。而球向前飞行的速度V由于受到空气阻力的影响会越来越小。此消彼长，侧向速度U相对于前进速度V会越来越大。由于球的实际速度是两个速度（U和V）的矢量和，因此刚开始当侧向速度U相对于前进速度V很小的时候，球的运行轨迹由V主导；当侧向速度U相对于前进速度V不可忽略的时候，他们共同作用决定球的轨迹；但当侧向速度U相对于前进速度V足够大的时候，球的运行轨迹由U主导，这时球的轨迹会发生突变。这就是“香蕉球”和“落叶球”会“拐弯”的力学原理。

而“电梯球”是不旋转的，但初始速度很大。根据空气阻力的公式：

F = ρV2CdS

式中：Cd为空气阻力系数，和物体的几何外形有关；
ρ为空气密度；
S为物体迎风面积；
V为物体与空气的相对运动速度。

可知，空气阻力和速度V的平方成正比，意味着当速度很大时，阻力也很大，足球从高速到速度减为零的过程就会很快。因此，“电梯球”被踢出时，速度很快，轨迹近乎是一条直线；但由于减速很快，当越过人墙到达最高点时速度降到接近于零，随后在重力作用下，自由落体式下降，而不是沿着抛物线轨迹下降。这个过程中，空气阻力如同一个墙壁(空气阻力壁)阻碍了足球在到达最高点后继续向前运动。

三、如何踢出“香蕉球”、“落叶球”、“电梯球”

通过上文所述，我们知道影响“香蕉球”“落叶球”“电梯球”运行轨迹的关键因素为：球的射出速度和旋转角速度，此外，球的大小，空气的密度、粘度、重力、射出角度等众多因素可能都会对球的运行轨迹产生或多或少的影响。如果使用传统仿真软件去研究这些参数的敏感性，我们需要规划出一个复杂的参数组合矩阵，并将每一种组合作为一个算例，进行一次仿真分析，最后将结果整理到一起进行比较，操作繁复，费时费力。

而Simdroid仿真软件支持全参数建模和无代码开发功能，可以把建模仿真的整个流程封装为一个轻量的APP——足球侧向力影响因素分析APP，并将待研究的参数集成到一个面板上，用户只需要拖动进度条，就可以改变各参数的数值，调整完参数后，便可一键完成前处理、求解和结果后处理等整个仿真流程。同时还可以将此APP分享给其它人，哪怕他不懂仿真，电脑上也没有安装仿真软件，同样可以使用这个APP来进行参数敏感性分析。从而大大简化重复操作过程，降低仿真技术应用门槛，提高工作效率。

下图所示为Simdroid的APP开发器界面，在此界面上，仿真工程师通过简单地“拖、拉、拽”方式，将开发器提供的标准控件组合到一起，就可以完成仿真APP的开发，无需任何编程经验。

Simdroid仿真APP开发器

下图为基于Simdroid开发的一个简易的研究足球侧向力影响因素的仿真APP。为了计算方便，本APP采用了二维流体仿真分析，并将足球简化为一个圆形，其它参数和真实情况相比也不精确，但定性的分析足球的侧向力影响因素还是够用的。如果要精确计算足球的运动轨迹，需要真实准确的三维模型和分析参数，以及更为复杂的流体计算技术（如动网格、流固耦合等），后续可作为技术专题讨论。