几种典型的橡胶材料超弹性本构模型及其适用性
橡胶材料具有良好的粘弹性，被广泛用作密封、减振部件。橡胶作为一种超弹性材料，其物理化学性能与金属材料有很大差别。
(1) 不可压缩性：橡胶材料的泊松比μ一般在0.45～0.4999范围内变化，接近于液体的泊松比0.5，因此橡胶可以看作是一种体积近似不可压缩的材料。
(2) 大变形特性：橡胶高分子材料变形很大，而其弹性模量与金属材料相比却小很多。橡胶材料的变形范围一般在200%～500%，甚至能够达到1000%，很多金属材料的变形则不足0.5%。
(3) 非线性：橡胶材料具有三重非线性，即几何非线性、材料非线性和边界非线性。橡胶材料的应力-应变关系具有明显的非线性，其力学性能与环境条件、应变历程、加载速率等因素有很大关联，且随时间延长而不断变化。
从20世纪40年代至今，国内外许多学者提出了许多橡胶材料的本构模型，大致可分为两大类：基于应变能函数的唯象模型和基于分子链网络的统计模型。
基于应变能函数的唯象模型又可分为两类。一类是以应变不变量表示的应变能密度函数模型，这类模型在处理橡胶弹性时，可以把橡胶材料的变形看成是各向同性的均匀变形，从而将应变能密度函数表示成变形张量不变量的函数，比如：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。另一类是以主伸长表示的应变能函数模型，比如：Valanis-Landel模型、Ogden模型等。
基于分子链网络的统计模型按照分子链的统计特性可分为两类：高斯链网络模型和非高斯链网络模型。其中最具代表性的分子统计学模型包括Treloar模型以及Arruda-Boyce的8链模型。
下面对几种常见的本构模型进行简要介绍：
Mooney-Rivlin模型是一个比较常用的模型，几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为。其应变能密度函数模型为：
对于不可压缩材料，典型的二项三阶展开式为：
式中：N、Cij和dk为材料常数，由实验确定。
Mooney-Rivlin模型适合于中小变形，一般适用于应变约为100%(拉伸)和30%(压缩)的情况。但该模型不能模拟多轴受力数据，由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。对于没有加碳黑的橡胶来说，该模型能得到比较准确的结果，但不能精确模拟加了碳黑的橡胶。
Yeoh模型比较适合模拟炭黑填充NR的大变形行为，并具有用简单的单轴拉伸试验数据描述其他变形的力学行为的能力。其应变能密度函数模型为：
J是变形后与变形前的体积比，对于不可压缩材料，J=1。典型的二项参数形式为：
式中：N、Ci0和dk为材料常数，由材料试验所确定，初始剪切模量μ=2C10。
Yeoh模型能描述随变形而变化的剪切模型的填料橡胶，如加碳黑后的橡胶。而且，该模型可通过某种简单变形实验数据拟合的参数来预测其他变形的力学行为，描述的变形范围也较宽。但Yeoh模型对等双轴拉伸实验的结果不能很好的解释，不能准确描述小变形时的情况。
各向同性超弹性体应变能函数可用主伸长λi(i=1，2，3)表征，其具有对称性：
以主伸长表征的Valanis-Landel应变能函数为：
经试验，进一步得出：
该式的适用条件为0.6<λi<2.5。
Ogden R W不作应变能函数是主伸长偶函数的假设，提出以主伸长来表征应变能函数，如式(16)所示：
式中：μi和αi为材料常数，αi可取任何实数值。
Ogden模型与Mooney-Rivlin模型并没有本质上的区别，仅在有限元分析中根据系数拟合的难易程度选择合适的模型。
Treloar在合理假设的基础上，把Kuhn-Grun提出的高斯链统计理论应用到高分子网链中，用以描述橡胶材料的宏观行为，根据单位体积分子链网络构象熵的改变得到相应的应变能密度函数为：
式中：CR=nkT为材料初始剪切模量，k为Boltzmann常数，T为绝对温度，λi(i=1，2，3)为主伸长比。
高斯统计模型是基于假设末端距远小于分子链的全部伸展长度建立的，因此该模型存在局限性。它只能用来近似预测小变形时的情况，不能用来描述分子链的伸展过程。
当分子链的末端距并不远小于分子链的伸展长度时，就需要考虑非高斯链的影响。基于这种理论提出了非高斯8链模型。8链模型的几何形状关于3个主轴对称，8个分子链具有相同的伸长率：
假设橡胶分子链由N个长度为l的链段组成，其应变能密度函数为：
式中：CR=nkT为材料初始剪切模量，
L⁻¹(x)是Langevin函数的反函数。
8链网络模型可以较好地模拟和预测大变形阶段的情况，但在预测小变形阶段时误差较大。
罗文波等在2008年引入权重函数，用高斯链网络模型描述小变形的同时用8链网络模型描述大变形，提出了基于高斯网络模型与8链模型的混合模型。其名义应力主值表示的混合模型为：
式中：考虑到小变形和大变形时混合模型将分别趋近于高斯模型和8链网络模型，权重函数ρ(λ)采用下式的形式：
式中：参数λr表征由高斯链网络模型主导的形变范围，参数q控制两个模型之间的转换速率。通过实验表明，该混合模型具有同时描述不同变形模式的能力。该混合模型的总体预测精度要比高斯链网络模型和8链网络模型更高，特别是对剪切变形的模拟。
