基于扩展有限元（XFEM）裂纹扩展总结

通过四个算例总结了用 ABAQUS 计算裂纹扩展应用情况。算例 1 基于 XFEM 使用虚拟 裂缝闭合技术结合 Cohesive 单元，实现混凝土基体断裂和钢筋混凝土界面脱层的混合失效 模式；算例 2 基于 XFEM以 VCCT 准则判断裂缝的开裂扩展，研究了偏荷载作用下不同配  筋率对裂缝扩展方向的影响，并对比了考虑钢筋与混凝土粘结滑移与不考虑粘结滑移的裂缝 扩展情况；算例 3 则是以粘聚力模型判断裂缝扩展,研究了裂缝扩展情况；算例 4 对比了Cohesive 和 VCCT 两种开裂准则下钢筋混凝土（纵、箍筋组合）的裂缝扩展情况。

 

扩展有限元基本原理

扩展有限元法（XFEM）是在单位分解法的基础上对常规有限元位移逼近函数进行改进 加强，引入附加函数。以二维裂纹（图 1）为例，对于裂纹贯穿单元，采用 Heaviside 函数 来描述裂纹两侧的不连续性；对于裂尖单元，采用裂尖渐进函数来反映裂纹尖端应力的奇异 性。扩展有限元的位移逼近为：  

式中， I 为所有节点集 合，Ni(x)为节点i的形函数，ui为节点i的标准自由度，J 为裂纹贯穿单元节点集 合（图 1 中圆圈所示节点），K为裂尖单元节点集 合（图 1 中方形所示节点），H(x)和Fα(x)分别为 Heaviside 形函数和裂尖渐进函数，ai和biα为相应节点自由度。  

图 1 扩展有限元中的富集节点    

描述裂纹面不连续性的 Heaviside 形函数可表示为  

式中，x * 为点 x 到裂纹面最近处的投影，n 为 x* 点处的单位外法线向量（如图 2 所示）。  可以看出，节点位于裂纹面上侧时 H(x) = 1 ，节点位于裂纹面下侧时 H(x) = −1，Heaviside 形函数能较好的描述裂纹面两侧的不连续性。  

对于含裂尖单元的整体加强函数一般根据裂尖位移场确定，能够反映裂尖主要的奇异项 和各种可能的位移状态，对于各向同性弹性体裂尖渐进函数 Fα (x)可表示为：  

式中， r 和θ为裂尖局部极坐标，如图 2 所示。式（3）中，只有第一个函数在越过裂纹时 出现不连续，另外三个函数用于改善裂尖附近解的奇异性。  

图 2 裂纹局部坐标系    

扩展有限元与常规有限元相比最大的区别就是在单元节点处引入了多余自由度，裂纹面 的不连续性可以通过与额外自由度相关的扩充函数来确定，同时扩展有限元还保留了常规有 限元的一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。因此扩展有限元在处理裂缝扩展等不连 续性问题时较有限元有明显的优势。  

基于扩展有限元计算裂纹扩展时 ABAQUS 提供了两种裂纹扩展准则：粘聚裂纹模型和 虚拟裂缝闭合技术

 

粘聚裂纹模型

粘聚裂纹模型以 Hillerborg虚拟裂纹模型为重要基础。如图 3 所示 ，在粘聚裂纹模型 中，断裂过程区由 2 个尖端确定：物理尖端和数学尖端。物理尖端处粘聚力为零 ，数学尖 端是材料断裂过程区与连续区域的分界点，其应力等于材料的强度。断裂过程区粘聚力从数 学尖端到物理尖端是裂纹张开位移的递减函数。  

图 3 粘聚裂纹模型    

常用的粘聚本构模型有线性型，双线性型和指数型。基于线性型粘聚本构模型，如图 4 所示。该模型的基本思想是：裂缝区内应力小于材料抗拉强度值时裂缝不扩展，当裂缝区应 力达到材料抗拉强度值后裂缝产生，形成的虚拟裂缝并不像真的裂缝那样完全脱开，而是相 互之间仍有应力作用，裂纹面上的粘聚力随着裂纹张开度的增加而减小。裂纹张开的过程中 需要克服粘聚力做功，因此要吸收一定的能量。新形成单位裂纹面积的过程中吸收的能量为

图 4 线性型粘聚本构模型

 

虚拟裂缝闭合技术

虚拟裂缝闭合技术（VCCT）是根据 Irwin 能量理论提出来的，其假设裂缝在扩展过程 中释放的能量等于闭合裂缝所需要的能量。以二维I型断裂模型为例  

a

b

图 5 二维裂纹闭合模型    

如图 5 所示裂纹由a 到 b 闭合过程中需要吸收能量，吸收能量的为：

因此，能量释放率为  

因为单元边界不传递力，相互作用只在单元节点处，所以闭合单元所吸收的能量又可表 示为  

故能量释放率又可表示为

在裂纹扩展时，假设其能量释放率为 G，而裂纹扩展所需要的临界能量释放率为GC 当 G>GC 时裂纹就会扩展，即裂纹扩展准则为  

对于三维模型

式中，h 为裂缝面宽度 能量释放率又可表示为  

式中，k 为节点编号，n 为裂缝面宽度方向节点个数，i 为坐标方向  

以上理论只适用与Ⅰ型裂纹，对于普通裂缝，则需要对理论进行修正，这时候，就需要用等 效应变能量释放率 Gequiv 来表示。  

在通用状态下，我们用这个公式替代上面的扩展准则，因为 Gequiv 是包含三种裂缝能量释 放率的，在 ABAQUS 中，对 Gequiv 的计算有三种方法，包括 BK 法，power low 方法和 Reeder law 方法，这里我们主要利用 BK 法  

 

 

 

算例 1

 

 

 

本算例结合 Cohesive 单元和 XFEM 两种裂缝模拟技巧，实现钢筋混凝土界面脱层和混 凝土基体断裂的混合失效模式 ，裂缝扩展模式采用虚拟裂纹闭合技术。  

模型尺寸选用 50*50*150mm 的钢筋混凝土梁，混凝土弹性模量 E=30GPa，泊松比  v=0.25，断裂能 G=100N/m。钢筋弹性模量 E=210GPa，泊松比 v=0.3.钢筋直径φ=10， 纵向钢筋布置在梁截面中间，在梁跨中部位有一长度 a=5mm 的预制裂缝，两点两端固支，  只允许沿 z 方向旋转。荷载采用位移施加方式。  

计算步骤  

1.  建模. 选择 3D，可变形体，soild ，Extrution，点击继续，绘制图形，矩形选择工具，选择点（-75,0）（75,50），拉伸长度 50。侧面中心绘制直径φ=10 的圆，采用路径刨  切工具绘制出钢筋，采用点与法线刨切工具进行十字刨切（有利于生成规则网格模型）

2.  网格划分。进入 mesh 模块，定义全局网格尺寸为 3，实体单元网格类型 C3D8R。进行网格刨分。网格编辑工具，嵌入 cohesive 单元，用于模拟钢筋与混凝土界面滑移。 Mesh→ Edit mesh→ mesh ，Insert cohesive seams。选择内面选择工具，by face  angle 形式，选择内面圆柱体，定义 cohesive 单元类型为 COH3D8，添加阻尼 1e-4。  为钢筋和混凝土创建集 合。

3. part-2，预制 XFEM 裂缝部件，3D→ Deformabel→shell→extrution.直线工具（0，0），（0,5）拉伸长度 50.

4.  定义材料属性。【material-cohesive】弹性模量---traction   210e3    210e3    210e3。Maxs Damage   1    10    10     damage evolution  采用位移形式  0.001.

【material-concrete】 弹性模量 30e3   泊松比  0.25（由于采用 VCCT 断裂模式， 此处不需定义损伤演化，断裂模式在接触属性中定义）  

【material-rebar】弹性模量210e3泊松比 0.3 定义界面属性并赋予材料，cohesive 单元厚度取 0.1

5.  装配。直接导入部件，避免裂缝与网格边界重合，将裂缝偏移半个单元距离 1.5。梁左右两端面中心建立两个参考点，用于耦合位移约束。

6.  分析步。创建静力分析步 static ，genaral。非线性打开 Nlgeom ：ON，时程 Time  

period： 1.自稳定设置，增量步数 10000，起始增量 0.01，最小增量 1e-7，最大增 量 1.非对称求解打开。  

场输出：LE, PHILSM, PSILSM, S, SDEG, STATUS, STATUSXFEM,U. 历程输出默认。  

求解控制 other → general  solution  controls → edit → step-1→ specify → time incrementation→勾选 discontinuous analysis→最大不收敛次数 IA： 10.  

7.  接触。增加材料属性 Fracture Criterion   VCCT    BK   Viscosity： 1e-4  。 断裂能0.1 0.1 0.1   系数取 1.75定义 XFEM  裂缝  special—crack—manager—Crete  XFEM， 选择混凝土集 合 set-concrete，勾选 crack location，选择预制裂缝，勾选接触属性，选择定义包含 VCCT 断裂准则的接触属性。

选择耦合约束 coupling，将参考点与两端面约束。  

8.  荷载。两端约束参考点除 UR3 外的其他自由度。创建梁顶部中间点集 合，用于定义中部位移加载，定义 Y 方向U2 位移为-1

9.  创建 job，提交分析。  

10. 后处理结果  

图 6   Increment=200 时应力云图  

图 7   计算结束时裂缝扩展情况  

图 8 Cohesive 单元损伤（SDEG）删除  

XFEM 能较好的模拟混凝土的开裂，且不用重新划分网格，裂缝可以独立于网格边界    在单元内部进行扩展。采用 Cohesive 单元粘聚模型理论来模拟钢筋混凝土界面的粘结特性， 利用 cohesive 单元的失效删除能模拟钢筋与混凝土界面的粘结失效行为。

 

 

 

算例 2

 

 

 

本算例基于 VCCT 断裂准则，模拟偏荷载作用下不同直径钢筋（配筋率不同）对混凝 土梁裂缝扩展的影响。  

如图所示模型选取 50*120*400mm 的混凝土梁，跨中位置有一长度 a=20mm 的裂缝， 梁顶部距离跨中 50mm 处有一荷载，在梁截面中间距离底部 30mm 处布置一纵向钢筋。  

取混凝土的弹性模量 E=28.3GPa,泊松比  v=0.2， 断裂能  G=120N/m， 钢筋弹性模量    E=210GPa，泊松比 v=0.3，屈服强度 f=583MPa。对取素混凝土及钢筋直径分别φ=2.5mm， φ=5mm，φ=10mm，的钢筋混凝土（钢筋直接嵌入混凝土）进行研究，并对φ=10mm    的钢筋混凝土采用 Cohesive 单元来模拟钢筋混凝土界面粘结滑移。梁的左端固定 X,Y,X 方    向，右端固定 Y,Z 方向允许在 X 方向的移动，荷载采用位移施加方式。  

图 9 混凝梁模型尺寸  

计算步骤：  

1.  建模。【Part-concrete】Crete part→ 3D,Deformable ，solid ，extrusion→矩形选择工具选择点（-200,0）（200,120）拉伸长度 50.

【part-crack】Crete part→ 3D,Deformable ，shell ，extrusion ，直线选择工具， （0,0）（0,20）拉伸长度 50.  

【part-rebar】Crete part→ 3D,Deformable ，wire。创建长度为 400 的直线。  

2.  定义材料属性。【material-concrete】Crete material ，E=28.3E3，v=0.2  

【material rebar】elastic E=210e3 v=0.3      plastic，屈服应力 583 ，塑性应变0

创建截面属性【section-concrete】 solid   homogeneous，选择混凝土材料  

【section-rebar】 Beam   Truss  选择钢筋材料，在 cross-sectional  area 中输入截面尺寸 4.90874 (φ=2.5） 给各部件赋予截面属性

3.  装配。按模型要求装配部件，并在梁的两侧见面中心建立两个参考点。  

4.  分析步。创建静力分析步，非线性打开 Nlgeom ：On，时程 Time period：1.增量步数设置为 1000，初增量步，最小增量步，最大增量步  0.01   1e-9    1，选择非对称求解。

场输出：LE, PHILSM, PSILSM, S, SDEG, STATUSXFEM,U.  

历程输出：能量默认，创建新的历程输出，选择set  set-load(在load模块中定义)，  

输出RF2，U2（后续过程设置）  

5.  接触。创建接触属性， mechanical—Fracture Criterion—VCCT--viscosity  1e-4  

断裂能释放率 0.12 0.12   0.12     系数η取 1.75  

创建 XFEM 裂缝面属性。 Special—crack—Crete-XFEM--选择混凝土集 合—勾选 crack location，选择裂缝面----勾选 special contact property 选择接触属性。选 择 Coupling，将梁两侧集 合点耦合到面上。  

6.【mesh-concrete】设置全局种子为 6，单元类型 C3D8R。结构化网格  

【mesh-rebar】全局种子 6，单元类型 T3D2 划分网格  

7.LOAD。 Initial—mechanical—Displacement/Rotation,选择左侧参考点，约束 U1，U2 ，U3 ，UR1，UR2.右侧参考点约束 U2，U3 ，UR1 ，UR2。

创建集 合 set-load，选择 Node 形式，选择梁上部荷载处的集 合。  

创建位移荷载，选择集 合 SET-LOAD.   U2：-1  

8.Job，创建 job 提交分析  

9.后处理结果  

对于不同直径的钢筋混凝土梁， 只需在截面属性中修改钢筋的截面尺寸即可， 对于 cohesive 单元处理钢筋混凝土界面滑移可参照算例 1.在此不再祥述。  

不同直径钢筋混凝土梁裂缝扩展方向如下（LO 表示素混凝土梁，L1 ，L2，L3 分别表 示钢筋直径φ=2.5mm，φ=5mm，φ=10mm 的混凝土梁，L4 表示 cohesive 单元考虑 粘结滑移的混凝土梁）  

图 10 不同配筋率的裂缝扩展  

由图 10 可以看出素混凝土梁的裂缝扩展近似直线，且偏移角度较小，符合素混凝土脆 性破坏形式。随着配筋率的增加，裂缝向荷载点偏移角度增加。比较 L3 和 L4，考虑粘结滑 移的裂缝扩展较不考虑粘结滑移的裂缝扩展向加载点偏移角度小。由此可见将钢筋直接嵌入 混凝土不考虑钢筋与混凝土界面的粘结滑移增加了钢筋对混凝土的约束作用。  

图 11 为不同配筋率混凝土梁的位移—荷载曲线  

图 11   位移-荷载曲线  

以上两个算例都是以虚拟裂缝闭合技术（VCCT）来判断混凝土的开裂，下面考虑基于 粘聚力模型为裂缝开裂判断准则

 

 

 

算例 3

 

 

 

本算例选取模型尺寸 50mm*50mm*170mm 的混凝土梁，梁跨中底部有一 5mm 的  预制裂缝，材料参数为 E=30GPa ，v=0.25，抗拉强度 ft =2.8MPa，断裂能 G=100N/m。 两端固定，只允许 Z 方向旋转。  

具体的建模等操作步骤，本算例不在祥示，只说明粘聚力模型与 VCCT 准则的不同之处。VCCT 准则是在接触属性中定义开裂准则。粘聚力模型则是在材料属性中定义材料的损伤演化。  

创建混凝土材料，设置材料参数，弹性模量 E=30E3，泊松比 v=0.25,采用最大主应力损伤 准则，最大主应力取材料的抗拉强度 2.8 ，损伤演化基于能量的方式，采用 BK 准则，系数 η取 1.75，三种断裂模式断裂能均取 0.1.  

在接触属性中无需定义VCCT断裂准则。裂缝面与混凝土的接触可保持默认设置（法向硬 接触、切向无摩擦），也可不进行设置  

计算结果展示

图 12 应力云图  

裂纹独立于网格边界，在单元内部沿直线扩展至梁顶部。

 

 

 

算例 4

 

 

 

本算例采用粘聚裂纹模型（Cohesive）和虚拟裂纹闭合技术（VCCT）对同一模型进行 计算对比。

选用模型尺寸为 800mm*200mm*120mm 的混凝土梁，距离跨中200mm 处有一长度    a=65mm 的预制裂缝。混凝土材料参数 E=28.3GPa ，v=0.2 ，ft =2.8MPa ，G=100N/m。  钢筋材料参数 E=190GPa，v=0.3.纵筋直径φ=10mm，箍筋直径φ=6mm。箍筋间距 80mm， 钢筋桁架如图 13 所示。位移荷载-1  

图 13 钢筋桁架  

两种断裂准则的设置等前处理步骤可参考以上案例。在进行施加约束时本算例不在节点施加， 采用点面耦合形式，如图 14 所示  

图 14 点面耦合约束  

计算结果展示

图 15 两种断裂准则裂缝扩展情况  

图 15 中两种断裂准则的裂缝扩展方向大致相同，都能够判断裂缝的开裂扩展。可以看 出在钢筋桁架的作用下裂缝向荷载点的偏幅较大。裂缝不在是 I 型扩展，而是以 II 型扩展为主。