Comsol磁流体模拟

PDE方程PDEPDE即偏微分方程，是指包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。流体动力学、电学、电磁学、力学、经典光学或热流中的大多数物理现象都可以用偏微分方程(PDE)描述。事实上，众所周知的物理定律，如麦克斯韦方程、纳维-斯托克斯方程、热方程、波动方程和量子力学的薛定谔方程，都是用偏微分方程表示的；也就是说，这些定律通过关联空间和时间导数来描述物理现象.这些方程中的导数表示速度、加速度、力、摩擦力、通量和电流等量。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算。还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。因此偏微分方程变成了数学的中心。图1.PDE方程求解物理模型PDE在Comsol软件的几何建模模块中搭建一个半径为1m的圆，如图2所示。图2.物理模型物理场边界条件PDE计算模型选择数学模块的经典PDE方程中的拉普拉斯方程，边界条件选择第一类边界条件（狄利克雷边界条件），设置变量u值为0和1，详细的边界条件如图3所示。图3.物理场边界条件根据有限元法的求解原理，剖分越精细，求解越准确，数值计算前通过网格划分对模型计算区域进行离散化处理，采用高质量的映射网格对模型进行划分，网格质量分布如图4所示。图4.计算网格质量分布结果展示PDE计算模型采用稳态全耦合方法进行求解，通过计算得到方程解u的分布以及线段上解u的分布如下所示。图5.解u的分布图6.解u的高度分布图7.截线上解u的分布来源：Comsol有限元模拟