变分法预备定理
变分法也称变分方法或变分学是17世纪末开始发展起来的数学分析的一个分支,它是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的一门科学。简言之,求泛函极值的方法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分问题或变分原理。
定理
如果函数 在区间 上连续,函数 满足以下条件：①一阶或若干阶可微;②在区间 的端点处为零，即 ;③ 和 均有界。
若积分
则在区间 上必有 .
证明
代数法
令
则
由于 ，且在 上,,要使(1)成立，则必有 。
反证法
假设存在 ,使得
由于 在 处连续，所以存在,当 时，.
选取函数 ,使其满足：① 时，；② 或 时， ;③ 在 上有连续导数。
令 ,显然 也满足上述三条性质，且对于任意,只要选取适当的常数 ，便可使 。此时积分
这一结果与(1)相矛盾,因此 在 处一定为零,而 又是在区间 任意选取的,所以 在区间 处处为零,即
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首次发布时间：2024-08-07
最近编辑：1月前
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