一文说尽冲击动力学——高应变率下材料的本构关系
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应变率相关的本构方程概述
在高应变率的情况下，材料的塑性变形通常采用率相关本构方程来描述。由于塑性变形是不可逆的且与变形路径相关，所以材料在某一点处的应力和应变之间的关系还同该处的变形历史有关。
在动态本构方程中，一共需要考虑4个因变量：应变，应变率，温度和应变历史。
力学理论中，应力和应变都是二阶张量，各自具有独立的6个分量。如果忽略应力和应变的球张量部分，只考虑他们的偏张量部分，就可以引入等效应力和等效应变，定义如下：
当然，也可以引入等效应变率，这样，张量形式的本构关系就可以简化为标量关系。
由塑性理论可以知道，静水应力只产生弹性体积应变，而剪应力产生塑性应变；例如金属和聚合物都是由于剪切力的作用而产生的塑性滑移，可以说，剪应力是塑性变形的驱动力。
因此，采用等效剪应力、等效剪应变和等效应变率写出的材料本构也往往具有明细的物理意义和应用上的便利。
图：低碳钢的低屈服应力与应变率的关系曲线。
由上图可以得到两个结论：
屈服应力随着应变率的增大而增大；
在低温条件下，屈服应力随着应变率增大的趋势更加明显。
一个成功的本构模型应该能将某一材料的全部实验数据归纳为一个简单的数学表达式，同时还可以通过该式的内推和外插来预测现有的实验未能覆盖的各种情况。
本构方程的经验公式
在低应变率下，大多数金属在塑性变形阶段近似遵循下列指数关系：
前图中低碳钢的屈服应力和温度的关系可用以下公式来描述：
根据以上经验归纳就得到了Johnson-Cook的经验性本构方程：
在结构冲击当中，往往采用理想塑性模型。在结构塑性动力学领域内，Cowper-Symonds的率相关本构模型是很有名的方程。其表达形式可写为以下两种等效形式：
Cowper-Symonds方程的基本思想是，利用给定的应变率估算动态流动应力，然后再用估算出的动态流动应力进行分析计算。这种方法简单实用，也很容易纳入有限元计算，因而非常受工程师欢迎。
外加应力与位错运动速度之间的关系
从微观上来看，塑性变形下，金属结构微观层面会存在位错运动。
位错动力学
由于材料本身的属性、外荷载情况以及温度场等条件的不同，晶体材料的塑性变形可以与多种物理机制相关，例如：
位错运动（或称位错滑移）；
机械孪晶
相变
塑性变形是以上几种机制的效果的总称。
位错是具有晶格结构材料的一种缺陷，但位错不是点缺陷，而是一层一层的晶格位置之间的错动。位错的特性是;
位错的运动产生剪切应变；
位错在剪切应力的作用下运动。
图：金属晶体中的位错。（a）单个位错的运动；（b）位错阵列的运动。
由上图，晶体每移动一个新的平衡位置，就可以得出位错阵列运动的形式，当位错阵列受剪切力的作用发生运动时，每层只移动一个固定的距离，但很多层位错运动就会产生剪切应变：
需要指出的是，在三维情况下，考虑到晶体中有很多的取向不同的滑移系，通常应变率和位错速度之间是一个更复杂的张量-矢量关系。
图：剪切应力与位错速度之间的关系。
从图中的曲线看出，外加剪切应力尚未使材料屈服时，位错静止不动；而材料屈服后，随着外加剪切应力的增大，位错的运动速度也逐渐增大。
也有很多的实验结果和经验公式都给出了位错运动和剪切应力之间的关系：
图：各种材料的剪切应力与位错速度之间的关系。
由上图不难发现，曲线的斜率随着位错运动速度的增加而减小。
参考资料：《冲击动力学》
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