有限元分析中的沙漏模式：如何避免计算误差？

    沙漏模式是一种非物理的零能变形模式，它产生零应变和应力。在有限元分析中，我们通常以节点的位移作为基本变量，通过形函数对各点位移进行插值计算，从而得到单元的应变和应力。但当单元发生特定类型的变形，如正方体单元变形为等腰梯形时，虽然节点位移不为零，但插值得到的应变却为零，导致内能计算结果也为零。这种现象就像沙漏一样，因此得名。

    例如一阶四边形缩减积分单元，该单元有四个节点 “o”，但只有一个积分点“*”。而且该积分点位于单元中心位置，此时如果单元受弯曲或者受剪切作用，则必然会发生变形，如下图所示。

    以弯曲变形为例，在弯矩作用下，材料中轴线处的长度没有改变，与纵向轴线的夹角也没有改变。这意味着单元单个积分点上的所有应力分量均为零。这就意味着，单元有变形，却没有产生应变能，因此，这种变形的弯曲模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没有刚度，所以，单元不能抵抗这种形式的变形。在粗划的网格中，这种零能量模式会通过网格扩展，从而产生无意义的结果。

    如果单元变成交替出现的梯形形状（两两在一起类似沙漏以及Windows系统中的鼠标动画图标），意味着产生了沙漏现象，如下图所示。

    一种量化沙漏效应的方法是研究伪应变能，它是控制沙漏变形所耗散的主要能量。如果伪应变能过高，说明过多的应变能可能被用来控制沙漏变形了。一般而言，伪应变能与实际应变能的能量耗散比率应低于5%。

    作用在单独节点上的荷载、边界条件或接触易于产生沙漏现象。将荷载或约束分布在两个或更多节点上，可以大大减轻沙漏问题。

    沙漏问题与网格质量息息相关。以下是一些改善网格质量的建议：

    在采用线性缩减积分单元划分网格时，由于线性缩减积分单元容易产生沙漏下线，特别是在模拟承受弯曲荷载的结构时，因此，建议沿厚度方向上至少应采用四层单元。

    标准单元的边长应与几何模型的最小尺寸相当，特别是在高应力梯度区域。

    在高应力梯度区进行网格细分，以确保应力稳定性。

    单元各边之间的比例不能太大，以保证网格的均匀性。