变分法基础(一)

 

变分法也称变分方法或变分学是17世纪末开始发展起来的数学分析的一个分支,它是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的一门科学。简言之,求泛函极值的方法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分问题或变分原理。

最速降落线问题--变分法的起点

1696年，著名数学家约翰·伯努利在一份科学期刊上发表了以下的问题：在铅直平面上两点    ，    之间要连一条怎样的曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下沿这条曲线由    运动到    所需要的时间最少?

▲图1

首先我们建立如图1所示的坐标系，为了方便，我们把    放在原点，于是点    的坐标就是    。设    点的坐标为    。取连接    和    两点的曲线方程为

   在区间    的两个端点满足条件

设    为曲线    上的任意一点，质点    在    点的速度为    。忽略其他因素，由能量守恒定律可得如下关系

式中,    是重力加速度。由    可得

另一方面,质点的运动速度还可表示为

由    可得

质点沿曲线从    点滑行到    点所需的时间为

显然,时间    是依赖于函数    的函数,    取不同的函数,    也就有不同的值与之对应。使    取最小值的函数    是内摆线(星形线)。如图2所示

▲图2

一些古建筑的屋面就这一特性，使雨水能快速离开屋顶。如图3所示

▲图3