变分法基础(一)

应变能和余能在弹性体域内满足平衡微分方程,在边界上满足应力边界条件的所有容许的应力状态中,真实的应力(即满足几何方程和位移边界条件的应力)必使总余能取极小值；反之,能使总余能取极值的应力一定是真实的应力。这就是最小余能原理( Principle of Minimum Complementary Potential Energy)。最小余能原理将求解弹性体应力微分方程的边值问题转化为求解弹性体总余能泛函的变分问题。弹性体的总余能 为弹性体余应变能 和外力余能 之和 式中 表示位移边界上的已知位移。式(1)表明弹性体的总余能是应力函数的泛函,所以最小余能原理是以应力为独立变量的单变量变分原理。在总余能泛函中,应力函数 是自变函数,并且要求应力事先满足变分约束条件,即平衡微分方程 和应力边界条件 。满足变分约束条件的应力就是可能的应力状态。以下是证明过程。求 的一阶变分,即 由于 事先满足平衡方程和应力边界条件,故在弹性体内部有 ,在应力边界 上有 ，原因是常量 的变分为0。于是有 由高斯公式 得 (4)代入(2)，得 (一) 若是满足几何方程和位移边界条件的真实应力，容易得到(5)等于0，即 ，所以弹性体的总余能取极值。由于式(2)的二阶变分为 以线性弹性体为例 其中， 是柔度矩阵,是正定的,故上式必大于零.所以,由于 ,,弹性体的总余能取极小值。对于非线性弹性体,结论相同。(二) 若应力使 取极值,则 。由于 , 是任意的,则由式(5)可推得 以上两式就是弹性体的几何方程和位移边界条件。因此,最小余能原理与弹性体域内的几何方程和边界上的位移边界条件等价。与最小势能原理一样,最小余能原理也在保守系统稳定平衡情况下才能成立。来源：数值分析与有限元编程