一文说尽冲击动力学——弹塑性波
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一维弹塑性波
如果考虑半无限长的杆件。如果应力波的幅值小于材料的屈服应力，应力在弹性范围内。而当应力波幅值大于屈服应力，材料的应力应变关系不再保持为常数，因而导致应力波传播速度改变，具体如下：
公式（1）
波速取决于应力-应变曲线的斜率。塑性波速是应力（或应变）的函数。对大多数工程材料而言，材料屈服后呈现出硬化降低的趋势。所以弹性波速随应力的增长而减小，并且小于弹性波速。
基于此，由材料的不同特性，可以分别得出不同硬化特性的材料在受到冲击荷载的作用下的应力波特征。
线性硬化材料受阶跃荷载作用
由公式（1）可得，线性硬化材料中弹性波波速大于塑性波波速。
因此，整个细长杆的应力状态可以分为三个部分：
弹性波前未到达的部分为未扰动区域，应力水平为零；
弹性波前已扫过、塑性波前尚未到达的部分承受的应力刚刚达到材料的屈服应力，对应于弹性区；
速度较慢的塑性波前扫过的部分具有阶跃荷载，其应力高于屈服应力，对应塑性区。
渐减硬化材料受单调增加荷载作用
渐减硬化材料是塑性应力随应变增加而增加，但塑性区应力-应变曲线的斜率随应变增加而减少的材料，如下图所示：
此类材料，应力波传播的特点是：
载荷未达到屈服应力之前，弹性波以相同速度传播；
当荷载增大到屈服应力之后，塑性波形成，并开始传播。塑性波波速随应变增大而减小，后发出的塑性波的波速比先发出的塑性波低。
塑性波是弥散的，传播过程中不能保持其原有的波形。
渐增硬化材料受单调增加荷载作用
图：渐增硬化材料的应力应变曲线。
渐增硬化材料中弹性波的演化规律是：
弹性应力波以相同的速度向右传播；
当荷载增加到屈服应力以上后，塑性波形成并在杆中传播。随着应变增加，塑性波速也逐渐增加。后发出的塑性波波速高于先发出的塑性波波速，塑性波聚集。
随着应力波传播，波形会变得陡峭，最终形成冲击波。
大多数工程材料（岩石、混凝土和陶瓷等），大多并不是渐增硬化材料，在均匀的工程材料中，冲击波并不多见。
但随着近年来轻质结构和能量吸收结构中常用的多胞材料，包括格栅、蜂窝、泡沫等多胞结构，包括格栅、蜂窝、泡沫等多胞结构，他们的等效应力-应变曲线从平台段到压实段具有渐增硬化的特征。
因此，冲击加载下，会产生汇聚的塑性波，会出现冲击波。
卸载波
在不考虑卸载的情况下，非线性弹性材料和弹塑性材料没有区别。在卸载时，弹塑性材料是按照弹性弹性斜率来卸载的。
对于一般情况，除了要考虑加载条件下的弹塑性波，还需要考虑波速为弹性波速的卸载波的作用。
现在以线性硬化材料制成的半无限长细杆为例分析。
在加载阶段，弹性波和塑性波的影响与前面分析一致。
之后应力卸载后，卸载波按照弹性波波速传播。卸载波会先赶上塑性加载波，最终将加载的塑性波卸载。
卸载后，杆中分为弹性加载段，塑性加载段和卸载段。塑性波被卸载后，卸载波和弹性波会同时向杆的终端传播。
应力与物质点速度之间的关系
若扰动为弹性波动，应力波的幅值为：
当加载速度过大，就会超过屈服应力。屈服应力对应的速度被称为屈服速度：
对于不同的硬化材料，可通过微积分，计算某一段时间内的波速，应力和应变。
材料会有一个极限强度，超过极限强度后，材料将发生破坏，可依此，计算极限强度对应的加载速度：
图：极限状态下的加载速度。
极限状态下的速度被称为冯卡门临界速度。
由以上公式，就可以计算出有限长度的杆件在高速冲击下的应力、应变和波速。
参考资料：《冲击动力学》
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