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数学基础概念(二)

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数学概念(二)

As shown below👇


No.1:

ZFC公理系统

ZFC 公理系统

ZFC 公理系统是一种用于描述集 合论的规则集,由弗朗西斯·戴维·里德(Ernst Zermelo)和阿伦·哈罗尔德·斯科勒姆(Abraham Fraenkel)等人提出。这个系统有一些基本的规则,帮助我们理解 集 合的性质。

  1. 空集公理(Axiom of Empty Set): 存在一个空集 合,即没有元素的集 合。

  2. 对集公理(Axiom of Pair Set): 对于任意两个集 合,存在一个包含这两个集 合的集 合。

  3. 并集公理(Axiom of Union Set): 对于任意集 合,存在一个集 合,其中的元素是原集 合中所有元素的并集。

  4. 无穷公理(Axiom of Infinity): 存在一个集 合,其中包含空集,且对于集 合中的每个元素a,都包含其后继元素a∪{a}。

  5. 替换公理(Axiom of Replacement): 如果有一个集合A,对于A中的每个元素a,存在一个唯一的集合B与之对应。

  6. 幂集公理(Axiom of Power Set): 对于任意集 合,存在一个包含该集 合所有子集的集 合。

  7. 选择公理(Axiom of Choice): 对于任意一组非空集 合,存在一个集 合,它包含每个原始集 合中的一个元素。

这些公理构成了 ZFC 公理系统,帮助我们更准确地定义和研究集 合的性质。在高阶数学中,这些规则被用于建立更复杂的数学理论。




       





No.2:

集 合的势

集 合的势,通常被称为集 合的基数(cardinality),是用来度量集 合中元素个数的概念。在数学中,我们经常用符号 "|A|" 表示集 合 A 的基数。

集 合的基数可以是有限的,也可以是无限的。下面简单介绍两种情况:

  1. 有限集的基数: 如果一个集 合包含有限个元素,那么它的基数就是元素的个数。例如,集 合 {1, 2, 3} 的基数是 3。

  2. 无限集的基数: 对于无限集,我们不能用常规的数来表示其基数。为了比较不同无限集的大小,引入了不同基数之间的比较。其中一个著名的无限基数是阿列夫零(Aleph-null),用 ℵ₀ 表示,表示可数无穷,即集 合的元素可以一一列举。如果有两个集 合 A 和 B,存在一一对应的映射(双射)将 A 的元素和 B 的元素对应起来,那么我们称 A 和 B 具有相同的基数。这样的集 合称为等势 集 合 。例如,自然数集 合 ℕ 和偶数集 合 {0, 2, 4, ...} 具有相同的基数,因为存在一一对应的映射,将每个自然数与它的两倍对应。

在集 合论中,基数理论是一个深入且复杂的领域,涉及到无限集 合的比较和运算。Cantor 的基数理论为我们提供了一种深刻的理解,同时也为我们处理不同势集 合的问题提供了工具。





PS: 数学的一些主流分支

数学是一门广泛而深刻的学科,包含许多不同的分支。以下是一些主流的数学分支:

  1. 代数学(Algebra): 研究数与符号之间的关系以及它们的运算规律。

  2. 几何学(Geometry): 研究空间形状、大小、相对位置以及它们的性质。

  3. 微积分学(Calculus): 包括微分学和积分学,用于研究变化和区域的面积。

  4. 概率论与数理统计(Probability and Statistics): 研究随机现象和数据的收集、分析、解释。

  5. 数论(Number Theory): 研究整数及其性质,包括素数理论等。

  6. 拓扑学(Topology): 研究空间的性质在连续变形下的不变性,关注形状和空间结构。

  7. 线性代数(Linear Algebra): 研究向量空间、线性方程组和线性映射等。

  8. 离散数学(Discrete Mathematics): 研究离散结构,如图论、集 合论、逻辑等。

  9. 数学分析(Mathematical Analysis): 包括实分析和复分析,研究函数、极限和连续性。

  10. 微分方程(Differential Equations): 研究包含导数或微分的方程。

  11. 组合数学(Combinatorics): 研究离散结构的组合和排列问题。

  12. 偏微分方程(Partial Differential Equations):研究包含偏导数的方程。

这些只是数学领域的一部分,每个分支都有其独特的应用和问题。数学在科学、工程、经济学等领域中都发挥着关键作用。


来源:灵境地平线

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UM理论Mathematica
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首次发布时间:2024-08-04
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周末--电磁仿真
博士 微波电磁波
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将我们设置为星标账号,获取对您有用的知识!数学是一种强大的语言和工具,为我们理解世界、解决问题和创造新知识提供了不可或缺的手段!群论群论是数学中研究群的一门分支。群是一种代数结构,它由一个集合和在该集合上定义的一个二元运算组成,满足四个性质,分别是封闭性、结合性、存在单位元和存在逆元。具体来说,一个群G是一个集合,配备了一个二元运算(通常表示为乘法),满足以下性质:封闭性:对于任意属于G的元素a和b,它们的乘积ab也属于G。结合性:对于任意属于G的元素a、b和c,满足(ab)c=a(bc)。存在单位元:存在一个元素e,对于任意属于G的元素a,有ea=ae=a。存在逆元:对于任意属于G的元素a,存在一个元素b,使得ab=ba=e,其中e是单位元。群论的研究涵盖了许多数学领域,包括抽象代数、数论、几何学等。群论在解决代数方程、几何问题以及物理学中的对称性问题等方面有广泛的应用。[1]内森·卡特,“群论彩图版”,机械工业出版社,2019.朴素集合论首先,我们来了解一下什么是集合。集合可以理解为一组对象的集合。比如,你可以有一个水果的合,里面有苹果、橙子、香蕉等各种水果。集合有一些基本的性质,例如:互异性(不同性):集合中的每个对象都是独特的,不会有相同的。无序性:集合中的对象没有顺序,即你不能说某个对象在集合中的位置。确定性:一个对象要么属于集合,要么不属于,没有模棱两可的情况。我们还可以用图形来表示集合,用一个圆圈表示集合,里面的元素用点表示。比如,集合A={苹果,橙子,香蕉}可以用一个圆圈表示,里面有三个点分别表示苹果、橙子和香蕉。集合论还包括一些基本的运算,比如并集、交集等。这些运算可以帮助我们处理集合之间的关系。总的来说,朴素集合论是研究集合及其基本性质的数学理论,它为我们理解和处理各种数学问题提供了基础。[1]PaulR.Halmos,“朴素集合论”,世界图书出版公司,2008.映射映射可以简单地将其想象成一种关系,其中一个集合的元素与另一个集合的元素之间有特定的对应关系。这对应关系可以用箭头表示。让我们来看一个简单的例子:假设有两个集合,集合A包含{1,2,3},集合B包含{apple,orange,banana}。现在,我们建立一个映射,将集合A的元素映射到集合B的元素,规定如下:1映射到apple2映射到orange3映射到banana你可以想象这个映射关系为从集合A的每个元素画一条箭头指向集合B的相应元素。这就是一个映射。在数学中,我们通常用函数的概念来描述映射。一个函数是一种特殊类型的映射,其中每个输入元素(域中的元素)都有唯一的输出元素(值域中的元素)。总体而言,映射是一种将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的方式,它在数学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。[1]阿德里安·班纳,“普林斯顿数学读本”,人民邮电出版社,2020.end来源:灵境地平线

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