偏微分方程怎么学习（三）

将我们设置为星标账号，获取对您有用的知识！

多元函数就是具有多个自变量和一个因变量的函数关系。

定义：设D为一个非空的n元有序数组的集 合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x₁,x₂,...,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数，记为y=f(x₁,x₂,...,xn)。

以二元函数和三元函数为例，说明其表示方法。二元函数可以表示为z=f(x,y)，其中z为因变量，x和y为自变量；三元函数可以表示为w=f(x,y,z)，其中w为因变量，x、y、z为自变量。

性质与特点

连续性：简要介绍多元函数的连续性，即当自变量在定义域内连续变化时，因变量也连续变化。

可微性：说明多元函数在特定条件下可微，并引出偏导数的概念，即多元函数关于某一个自变量的导数。

梯度：介绍梯度的概念及其在多元函数中的应用，梯度表示函数在某点处增长最快的方向。

极值：说明多元函数可能存在的极值点及其求法。

应用

物理学：举例说明多元函数在物理学中的应用，如描述物体运动的二元函数f(t,s)=t²+s，其中t表示时间，s表示距离。

经济学：介绍多元函数在经济学中的应用，如描述商品价格与需求量关系的二元函数f(P,Q)=aP+bQ，其中P表示价格，Q表示需求量。

偏导数，是当我们研究一个多元函数时，只关注其中一个自变量对函数值的影响，而保持其他自变量不变。这种情况下求得的导数，就是偏导数。

具体来说，如果我们要求 z = f(x, y) 关于 x 的偏导数，我们就会保持 y 的值不变，只考虑 x 的变化对 z 的影响。这个偏导数通常记作 ∂z/∂x 或 fx(x, y)。同样地，如果我们要求关于 y 的偏导数，就会保持 x 的值不变，只考虑 y 的变化对 z 的影响，记作 ∂z/∂y 或 fy(x, y)。

偏导数的几何意义

偏导数在几何上也有一定的意义。对于二元函数 z = f(x, y)，如果我们固定 y 的值，那么函数就变成了关于 x 的一元函数，此时偏导数 ∂z/∂x 就表示这个函数在 x 方向的切线斜率。同样地，偏导数 ∂z/∂y 表示在 y 方向的切线斜率。

偏导数的计算方法

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，但需要注意的是，在求偏导数时，我们要把其他自变量看作常数。

比如，求 z = x2 + xy + y2 关于 x 的偏导数时，我们可以把 y 看作常数，然后按照一元函数求导的方法对 x 求导，得到 ∂z/∂x = 2x + y。

偏导数的存在

偏导数存在，通常需要满足以下两个条件：

该函数在点 （x0,y0） 的某个邻域内存在；

该函数在点 （x0,y0） 可以连续地偏导。

偏导数的应用

偏导数在多个领域都有广泛的应用。

比如，在物理学中，偏导数可以用来描述某个量在空间上的变化，如温度随时间和空间的变化；在经济学中，偏导数可以用来分析各种因素对产量的影响；在机器学习中，偏导数可以用来计算损失函数对参数的梯度，从而进行梯度下降等优化算法。

PS: 

多元函数和偏导数都是数学中的重要概念，具有广泛的应用领域和深远的历史背景。