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物理定律、数学模型和偏微分方程

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物理定律基于人们对事物的观察,定义物质在空间和时间上的运动规则及相关概念。

想要全面了解某个系统的特性,一种可行的方法是使用微分方程来描述这一系统在不同情况下的特性,并分析方程的解。

微分方程描述系统的变化,更具体地说,偏微分方程(PDE)通过多个自变量来描述这些变化。

偏微分方程可用于描述物理定律。通过在数学模型中求解偏微分方程,可以预测实验的结果,并帮助人们理解该数学模型描述的过程或现象。偏微分方程的解一经验证,并与改变模型参数的方法相结合,还可用于优化设备或过程的设计。




   

[1] 司守奎,孙奎菁. 数学建模算法与应用, 第3版. 北京: 国防工业出版社, 2021. 

[2] 梅中磊, 李月娥, 马阿宁, MATLAB电磁场与微波技术仿真, 第1版. 北京: 清华大学出版社, 2020. 

[3] 张岩,吴水根, MATLAB 优化算法. 清华大学出版社, 2017.

[4] 温正, MATLAB科学计算 . 2017. 

[5] M. Sadiku, MATLAB模拟的电磁学数值技术  第3版(美)北京:国防工业出版社. 2016.

[6] A. Elsherbeni, MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法. 2012.

[7] 彭芳麟. 数学物理方程的MATLAB解法与可视化. 2004.  




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As shown below👇


物理定律、数学模型和偏微分方程

物理定律是自然界中客观存在的规律,它们描述了物理现象之间的内在联系和变化规律。这些定律通常是通过实验观察、理论推导或两者结合得出的,具有普遍性和客观性。例如,牛顿的运动定律、万有引力定律、麦克斯韦的电磁场理论等都是物理定律的典型代表。  

 

 

 
数学模型则是为了描述和解释物理现象而建立的一种数学结构。它利用数学语言(如变量、函数、方程等)来抽象和概括物理现象的本质特征,从而揭示其内在规律和联系。数学模型可以是简单的代数方程、几何图形,也可以是复杂的微分方程、积分方程等。在物理学中,数学模型是连接物理定律和数学工具之间的桥梁,它使得我们可以利用数学方法来分析和解决物理问题。

 


 
偏微分方程是数学模型中的一种重要形式,它描述了多个变量之间以及它们的变化率之间的关系。在物理学中,许多物理现象都可以用偏微分方程来描述,如流体的运动、热传导、电磁波的传播等。偏微分方程不仅具有深刻的数学内涵,而且与物理学、工程学、生物学等众多领域密切相关,是这些领域中进行理论研究和实际应用的重要工具。



有限元法

空间和时间相关问题的物理定律通常用偏微分方程(PDE)来描述。对于绝大多数的几何结构和所面对的问题来说,可能无法求出这些偏微分方程的解析解。不过,在通常的情况下,可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程,得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程,并可以用数值方法求解。如此,这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。有限元法(FEM)就是用来计算出这些近似解的。  
使用有限元法的好处之一就是该方法在离散度的选择方面提供了极大的自由(同时包括用于离散空间和离散基函数的单元的离散度选择)。  
有限元法的另一个优点是该理论已经发展得较为成熟了,原因就在于偏微分方程问题的数值表述式和弱表达式之间的密切关系。  
例如,当数值模型方程在计算机上求解时,该理论在误差估计或误差边界估计方面是较为有效的。  
回顾有限元方法的历史,可知该方法是在 20 世纪 40 年代初被德裔美国数学家 Richard Courant 首次提出的。虽然 Courant 报道了有限元方法在诸多问题上的应用,但几十年之后该方法才在结构力学之外的领域获得了普遍的应用,成就了现在的地位。  





End



   
在科学研究中,我们需要深入理解物理定律的本质和内涵,掌握数学模型的构建方法和技巧,并熟练运用偏微分方程等数学工具来分析和解决物理问题。只有这样,我们才能更好地揭示自然界的奥秘,推动科学技术的进步和发展。    
 


来源:灵境地平线
MATLAB理论
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首次发布时间:2024-08-04
最近编辑:3月前
周末--电磁仿真
博士 微波电磁波
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天线基础--偶极子和环

从1880年代后期赫兹的火花隙传输和接收开始,天线技术引入、发展和进步。线性偶极子和环路,是赫兹1886年火花隙偶极子发射器和环路接收器实验的一部分。前言天线的历史可以追溯到詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(JamesClerkMaxwell),他于1873年首次发表了他的著作[1]。麦克斯韦统一了电学和磁学理论,他通过一组深奥的方程式表示了它们之间的关系。麦克斯韦还表明,光是电磁的,光和电磁波都通过相同速度的波扰动传播。1886年,海因里希·鲁道夫·赫兹(HeinrichRudolfHertz)教授展示了第一个无线电磁系统。他能够在实验室中在发射线性偶极子的间隙中产生火花,然后将其检测为附近谐振回路间隙中的火花。天线基础Asshownbelow👇天线类型大多数天线元件,尤其是在第二次世界大战之前,都是线型的:它们是长线、偶极子、环、螺旋、菱形、扇形等。它们既可以用作单个单元,也可以用作阵列。这些单元对于人们来说很熟悉,它们几乎无处不在——在汽车、建筑物、轮船、飞机、航天器等上。在二战期间和之后,特别是随着速调管和磁控管等微波源的创新和引入,以及许多其他散热器投入使用,需要更好地理解和优化其辐射特性。这些天线中有许多是孔径型的,在微波频率区域工作:它们包括开放式波导、插槽、喇叭、反射器、透镜等。它们已被用于机载和地面平台上的通信、雷达、遥感和深空应用。这种类型的天线对于飞机和航天器应用非常有用,因为它们可以非常方便地齐平安装在飞机或航天器的皮肤上。在1950年代之前,天线设计具有方向图和阻抗特性,带宽不超过约2:1。通过引入几何形状由角度而不是线性尺寸指定的天线设计,天线带宽取得了突破,将最大带宽扩展到40:1或更高。理想情况下,它们具有无限带宽。因此,这些独特而巧妙的设计被称为与频率无关的天线。这些天线主要用于10–10,000MHz区域的各种应用,包括电视、点对点通信、反射器和透镜馈电等。这类天线在[2]中进行了讨论。直到近20年后,才引入了一种基本的新型辐射元件,自问世以来就受到了广泛的关注和许多应用。这发生在1960年代末/1970年代初,当时微带或贴片天线被发明、报道和实施。这种新的微带/贴片元件简单、轻便、价格低廉、外形扁平,并且与表面同形。[3]中详细讨论了这些天线配置和设计。近年来,毫米波天线取得了重大进展,包括集成天线,其中有源和无源电路与辐射元件组合在一个紧凑的单元(单片形式)中。探索外层空间的成功导致了天线技术的进步。由于需要远距离通信,因此引入了独特而复杂的天线设计,并用于发送和接收传输数百万英里的信号。对于这种应用,一种非常常见的天线形式是抛物面反射器,其直径为305m甚至更大。需要如此大的尺寸才能在数百万英里的行程后实现发送或接收信号所需的高增益。另一种形式的反射器虽然不像抛物线类型那样常见,但就是角反射器。参考文献[1]Maxwell,JamesClerk,ATreatiseonElectricityandMagnetism(Oxford,1998;onlineedn,OxfordAcademic,31Oct.2023),https://doi.org/10.1093/oso/9780198503736.001.0001,accessed23July2024.[2]P.E.Mayes,"Frequency-independentantennasandbroad-bandderivativesthereof,"inProceedingsoftheIEEE,vol.80,no.1,pp.103-112,Jan.1992,doi:10.1109/5.119570.[3]D.M.Pozar,"Microstripantennas,"inProceedingsoftheIEEE,vol.80,no.1,pp.79-91,Jan.1992,doi:10.1109/5.119568.EndAccordingtoJohnD.Kraus,anauthorandpioneerofantennatechnology,“antennasaretheelectroniceyesandearsoftheworld.”Astheeyesandearsarecriticaltohumansforefficientcommunicationandactivity,antennasarecriticaltowirelesscommunicationsystemsfortransmittingandreceivinginformationefficiently.Sincethedaysofmodernantennatechnology,datingbacktothe1920swiththeintroductionoftheYagi–Udaarray[1],antennashaveundergonearevolutionandplayedpivotalrolesintheNASAspaceprogramtoallowhumanstolandonthemoonin1969andsendmessages,photos,andvideosoftheNeilArmstrongwalkonthemoon.Today,antennasarecriticaldevicesthatpermitwirelesscommunicationsystemstosendtext,photos,messages,e-mails,news,andotherinformationevenfromcellphones,fromanyonetoanyoneintheworld.Someofthesepersonalwirelessdevices,fromtheinitialeraofthe1980stothemostadvancedandmoderndevices,areshowninFigure3.Whileinitiallytheantennaswereexternal,eventuallytheyweremoved/imbeddedinternally,toavoidbreakageandimprovetheirvisualappearance.来源:灵境地平线

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