有限元框架下的控制方程书写的常见思路

1. 力法（柔度法）

该方法结构分析用的很多。柔度在结构力学中被定义为单位力产生的位移。力法以结构的内力作为未知变量，因此也被称作柔度法。

为了得到控制方程（物理方程，也就是表征力和位移的关系的方程组），首先需要建立平衡方程，然后通过引入变形协调方程，从而得到内力和位移的相关关系。

在这里，顺便解释下几个概念，方便后面的叙述和理解。

1. 柔度与刚度：柔度是单位力产生的位移，刚度是产生单位位移所需要施加的力。柔度与刚度互为倒数。

2. 平衡方程：结构要能够承担荷载，因此受力必须要平衡，否则就会产生位移，如果把结构当作刚体，就是刚体 位移。

3. 协调方程：也称作变形方程，也就是变形一定要一致。同一个位置不能出现材料重合或空缺。试想，两端固定的梁，如果左边发生了沉降，左边被固定端就会产生向下的位移。

4. 物理方程：也称作能量方程，整个系统的能量是守恒的。

5. 本构方程：在结构当中，就是应变（或应变率）和应力（或应力率）的关系。

2. 位移法（刚度法）

与位移法相反。以节点的位移作为未知变量。在位移法中，要先建立变形协调方程，然后再补充平衡方程。

力法和位移法分析问题比较简单，直接。而且用计算机求解更为方便，如MATLAB，就是专为解决矩阵相关的问题而设计的。

力法和位移法以及有限元法都是采用化整为零的思想，把一个物体离散为有限个的小的单元。有限元的名字由此得来，结构分析也是有限元发展初期经常被使用的领域。

3. 变分法

变分也就是泛函分析，泛函即函数的函数，以函数为自变量的函数或者用函数表达的函数。本质就是求极值。和高等数学（数学分析）中的函数求极值类似，只不过换成了泛函。

力学当中有很多具体的变分原理。比较常见的有最小势能原理、虚功原理等。

力法和位移法是从受力分析的角度解释，变分则是从功和能量的角度出发去解释。

虚功原理可以用于任何本构的材料（e.g. 线弹性、非线弹性、弹塑性，粘弹性等），而最小势能原理则局限于线弹性的材料。

力法和位移法主要是在结构分析中使用，而为了将有限元推广到受力分析以外的领域，例如传热、电磁分析、流体流动、物质运移等，变分法是一个强有力的工具。

4. 加权残余法

加权余量法在推动单元方程是很有用的。当泛函分析中，难以得到极值的时候，就可以使用加权余量法。伽辽金法、配置法、最小二乘法和子域加权残余法都是常见的加权残余法。

参考资料：《有限元法基础教程》

来源：STEM与计算机方法