最小余能原理构造有限元

应变能和余能

最小余能原理

最小余能原理与最小势能原理的基本区别如下:最小势能原理对应于结构的平衡条件，而最小余能原理对应于结构的变形协调条件。最小势能原理以位移为变化量，最小余能原理以力为变化量。

在单元分析中，假定单元的位移函数，由最小势能原理可求出单元刚度矩阵，如果假定单元的应力状态，由最小余能原理可求出单元柔度矩阵，下面加以说明。

设单元应力    可用结点力    表示如下:

上式在单元边界上的取值即为单元的边界力    ，记为

必须指出，除了杆单元和梁单元，对于一般的连续介质，要像式(1)那样用结点力表示单元内部应力是很困难的，把式(1)和式(2)代入余能计算式

得到

其中，    为单元柔度矩阵，    为单元节点位移，    为给定边界位移。

根据最小余能原理有

(3)代入(6)得

式(7)用于结构的整体分析，即所谓矩阵力法。先选择赘余力，再根据变形协调条件建立以结点力为未知量的方程组，即可解出结点力。矩阵力法在计算机上的实现远比矩阵位移法困难，所以采用较少。按最小余能原理求解时，所假设的应力场在单元内部应满足平衡方程，在相邻单元的公共边界上应力不必连续，但应满足平衡条件，这种单元称为平衡单元，求解时的未知量是结点力。