天天挂在嘴边的级联噪声系数公式，是怎么推导来的？

 

（1）电阻产生的热噪声

 

物理器件中，载流子的随机运动，会产生热噪声。比如说阻值为R的电阻，其所在环境的温度为T(K)，其内部电子的随机运动，在电阻两端会产生小的电压波动，这个电压波动的平均值为0，但是有一个非零的均方根值。

这个电压，由普朗克黑体辐射定律得到，这个公式对任何频率都有效，且与频率相关。

但是，在我们常规的频率和温度下，hf<<kT，在很极端的情况下[1]，如下图所示，仍能满足。

所以，一般情况下，上面的式子，可以简化为：

这个式子，就是我们用来推导噪声系数的源头。

 

(2) 噪声功率

 

当阻值为R的噪声电阻与阻值为R的负载电阻连接时，负载所获得的功率为：

在这里，电阻产生的热噪声功率与频率无关，噪声功率谱密度在不同频率处，保持恒定的值，所以是一种白噪声。

独立的白噪声源，可以看成是高斯分布的随机变量，所以这些独立噪声源之间的噪声功率是可以叠加的。

噪声功率可以线性叠加，是下面公式推导的一个前提条件。

 

(3) 等效噪声温度

 

前面的推导，是基于电阻的。

其实，还可以扩展到任何噪声源，只要其输出的噪声近似于白噪声。

比如说有一个噪声源，如上图所示，向内看到的电阻是R，输出的噪声功率为N0，那么就可以把它用等效噪声温度为Te的有噪电阻R来等效，而Te可以由下式得到。

因此，可以用等效噪声温度来对器件或系统进行表征。

比如说，增益为G的放大器的等效噪声温度为Te，即可以看成，其输入端有一个等效噪声源，其噪声功率为KTeB，然后经过一个无耗的增益为G的放大器，噪声输出功率为GKTeB。

了解这一点，下面的推导就很容易理解。

 

(4) 等效噪声温度与噪声系数之间关系

 

噪声系数，是衡量SNR的恶化程度，其定义为：

所以，对于上面框图，可以得到：

即器件的等效噪声温度，与器件的噪声系数之间的关系。

 

(5) 级联噪声系数公式的推导

 

结合前面的一些结论，就可以得到噪声系数的级联公式。

参考文献:

[1]  DAVID M.POZAR，Microwave Engineering