前沿研究分享 | 弹塑性、大变形、体积自锁

最近的工作表明，与经典的线弹性断裂力学相比，用Steigmann-Ogden表面弹性研究脆性格林弹性固体中的裂纹前缘，可以产生一个模型，预测平面应变问题裂纹尖端的有界应力和应变。然而，即使考虑了Steigmann-Ogden表面弹性，在远场载荷下，反平面剪切（模式III断裂）的奇异性仍然存在。

• 使用Murdoch和Cohen对Noll理论的扩展来讨论材料对称性。

• 提出了一个小应变表面能模型，该模型结合了对测地线变形的抵抗力，满足强椭圆性，并需要与Steigmann-Ogden理论中相同的材料常数。

• 推导并将线性化理论应用于远场载荷下无限板中的III型断裂。我们证明了控制积分微分方程总是存在一个唯一的经典解，与使用Steigmann-Ogden表面弹性相比，我们的模型在预测裂纹尖端的有限应力和应变时与线性化假设一致。

当应用于几乎不可压缩的线性弹性时，基于伽略金方法的二次NURBS离散化会受到体积锁定的影响。体积锁定不仅会导致比预期更小的位移，还会导致法向应力的大振幅虚假振荡。最近引入了连续应力（CAS）单元，以消除线性平面弯曲基尔霍夫棒的基于二次NURBS的离散中的膜锁定。

在这项工作中，我们提出了CAS单元的两个推广（称为CAS1和CAS2单元），以克服几乎不可压缩线性弹性的基于二次NURBS的离散中的体积锁定。

• 开发了两种假设的应变处理方法，称为CAS1和CAS2单元，可以消除几乎不可压缩固体中的体积锁定。CAS1单元以变分形式线性插值涉及第一个Lamé参数的项在每个方向上的节处的应变。CAS2单元线性插值每个方向上节处的膨胀应变。

• 体积锁定的影响不仅是比预期的位移更小，而且是法向应力的大振幅虚假振荡。对于位移值已经精确的非常精细的网格，法向应力的虚假振荡可能会发生。

• 锁定不仅会对边值问题的离散化产生负面影响，还会对特征值问题的求解产生负面影响。
  

线性弹性的经典公式是根据Navier-Cauchy方程，其中位移场𝐮是主要的未知量。由于其简单性、直接并入变分框架以及在可压缩区域中的鲁棒性的相应证明，该公式在有限元框架中已经实现了无数次。然而，众所周知，对于不可压缩材料，该公式是不稳定的。

• 根据应力张量引入了各向同性线性弹性的新公式。

• 对于所有提出的变分公式，提出了通过分布处理恒定和分段恒体力的方法。

• 三维修正的Beltrami–Michell方程和新引入的二维方程都被证明在具有完整Dirichlet边界的域上是适定性的，这得到了数值基准的验证，产生了最优收敛。

• 在混合狄利克雷-诺伊曼边界条件的情况下，三维和二维都需要稳定。

复杂的材料系统，如超材料、多孔固体、功能梯度固体、晶格结构和复合材料，已经变得越来越容易获得。这些材料在工程、纳米技术、生物技术和医学等多个领域都有重要应用。一些理论和实验研究巩固了这样一种认识，即这些材料表现出不可忽视的非经典行为，表现为（众所周知的）非局部效应、多尺度效应，甚至组合的多尺度非局部效应。

本研究提出了一种广义多网格非局部有限元方法，该方法解决了Eringen积分弹性理论数值模拟中的几个长期挑战，该理论通常用于模拟非局部效应。积分边值问题数值模拟中的主要挑战主要源于全局（父）和积分（子）域的空间离散化的耦合，这通过在子域的精度和整个父域所需的资源之间进行隐式权衡，严重限制了现有算法的适用性和计算效率。

• 提出了一种新的网格解耦技术，用于解耦有限元离散化和两个嵌套积分的近似。通过应用网格解耦技术，创建了两个不相交的有限元网格层（父网格和子网格），分别对材料域和非局部层进行离散化。

• 所提出的广义多网格非局部有限元方法通过使用涉及两相非奇异核函数和分数阶弱奇异核函数的基准问题进行了验证。还基于相同的基准问题进行了仿真，以分析广义多网格非局部有限元方法的收敛行为。
  

近几十年来，近场动力学在连续介质力学中得到了广泛的应用，特别是那些涉及尺寸效应、裂纹和不连续性的特殊问题。它是经典固体力学的非局部扩展，其中连续体或一组离散粒子中的材料点通过力相互作用。近场动力学的基本方程用积分方程而不是微分方程重新表述，使其非常适合不连续性。

• 在这项工作中，从约束拉格朗日方程中推导出了具有稳定性的𝑇𝐿-近场动力学，旨在抑制传统基于状态的近场动力学中固有的零能量模式振荡。

• 在有和没有稳定的情况下进行了测试计算，结果表明，提出的𝑇𝐿-近场动力学可以显著抑制零能量模式不稳定性，并易于处理大变形。此外，所提出的节能时间步进方法允许长时间模拟。