有限元编程中如何避免剪切自锁？（非协调单元详解）

线性单元在承受纯弯曲荷载或者单元长细比较大时，由于本身形函数的线性项影响，其位移模式只支持线性变化，即不能呈现单元边界弯曲形式，出现一些"虚假"的剪切变形，最终导致精度失真，在有限元术语中这种现象成为"剪切自锁"。本节的重点是如何避免该现象的产生？或是说怎么解决该问题引发的精度失真。

本节主要分享的内容有：

• 剪切自锁的成因
• 解决剪切自锁的方法
• 非协调单元
• 选择性减缩积分技术

何为剪切自锁？

如下图所示的悬臂梁，使用    个Q4单元进行网格划分，右端承受一力偶荷载作用，模型左下角节点固定，左上角节点仅约束水平方向位移。

 

以上工况计算得到的梁右端下面节点有限元解为0.50556（精确解为0.75225），误差达到32.8%，对网格进一步加密，分别采用    和    个Q4单元进行计算分析，误差分别为29.3%和9.6%，位移精度并没有明显提升。

现在来深度分析一下，为什么精度这么差？

如图3.38所示，单元承受力偶荷载作用，呈现纯弯曲状态，其位移场（平面应力状态）的解析解应为：

在使用Q4单元进行有限元求解时，等效节点荷载如图3.39(a)所示。该单元的位移场为：

其剪应变    ，如图3.39(b)所示，单元呈现剪切变形而非弯曲变形，Q4单元产生的剪切变形会使得单元过于刚硬，称为"剪切自锁"。

Q4单元出现"剪切自锁"的原因是因为其本身的变形模式没有弯曲变形需要的二次项，为了构造变形模式中的二次项，可以改用高阶单元或者使用非协调单元。

非协调单元

Wilson等人在线性等参单元的基础上增加与纯弯曲状态对应的形函数二次项：

位移模式变为：

式中的    为附加的自由度，新引入的形函数在单元边界上呈二次抛物线变化，附加的位移项在单元与单元的交界面处是不连续的，也叫做不协调的，称非协调模式（incompatiblemodel），相应的单元称非协调单元（incompatible element）。

从数学上看，通过引入    和    项，使得形函数中的二次项趋于完备（原本是双线性    ），从而提高计算精度。非协调单元不满足有限元解的收敛性，可以通过分片试验来检验解的收敛性。

非协调模式刚度方程

在求解单元刚度矩阵时，应变关系矩阵只需在原有格式上扩充两列即可：

式中，

非协调模式不额外增加单元节点力，单元刚度矩阵可写为：

静力凝聚技术

在上式中，    为单元内部自由度，可使用静力凝聚技术，把内部的自由度"凝聚"掉，只保留单元边界上的自由度，即保持单元刚度矩阵原维度不变。

上式中，

由非协调单元刚度方程的第二个方程，得

再代入非协调单元刚度方程，得非协调单元刚度矩阵为：

非协调单元改进

以上单元刚度矩阵的形式，在进行分片试验时，发现雅可比行列式为常数时，即单元面积为一个定值，单元是收敛的，反之不收敛。为了解决这一问题，Taylor等人建议在计算    时，雅可比矩阵取单元形心处（    ）的值。具体该如何操作呢？

非协调单元在通过分片试验时，要让若干个单元组成的分片域呈现常应变状态，即要求额外增加的自由度    ，由非协调单元刚度方程第二个方程可得：

线弹性单元的常应变状态对应的应力也应为常数，即：

进一步可以写为：

式中，

Taylor建议此时的雅可比矩阵取单元形心处（    ）的值，即：

这种改进形式属于选择性减缩积分的范围，在避免线性单元"剪切自锁"时，选择性减缩积分也是一种有效的方法。

弹性矩阵    可以分解为正应变相关部分    和剪应变相关部分    ：

单元刚度矩阵可以分解为：

在计算    时采用单点高斯积分也可以避免"剪切自锁"。

改进后的非协调单元可以通过所有分片试验，因此是收敛的，在分析弯曲问题时，即使厚度方向只有一个单元也可以得到很好的结果！

数值案例

考虑下图所示的悬臂梁模型，模型右端下方节点固定，上方节点仅约束    方向的位移，在模型左端下方节点施加竖直向下的集中力，弹性模量    ，泊松比    ，单元厚度为2，按照平面应力状态处理，单元细长比取10。

此时的有限元解精度很差，出现"剪切自锁"现象；使用力偶荷载构造纯弯载荷工况可以自行试验，规律是一致的，都容易出现"剪切自锁"。

 

材料参数与约束信息：

*Material
10000., 0.0,2.0,1
*Load
1,2,-0.1
*Constr
11,1,0.
11,2,0.
12,1,0.
33,1,0.
34,1,0.

分别使用Q4单元和非协调单元进行有限元分析，模型位移场见下图所示。自研程序与Abaqus的精度一致，验证了程序的正确性。

在使用CPS4单元时，梁体的挠度受到限制，由于单元的细长比过大，在受到变形时，产生"剪切自锁"的现象，如图3.41(b)所示。在单元内部添加支持弯曲变形的形函数后，在受到变形时，单元边界可以呈现弯曲的形式，避免了单元发生虚假的剪切变形，如图3.41(d)所示。当厚度方向只有一个单元时，精度也能得到很好的保证，如图3.41(f)所示。使用选择性减缩积分进行有限元分析，无论是    个网格划分还是厚度方向只有一个单元，均能很好的模拟梁的变形位移，与非协调单元精度一致。

文档中分享的理论深度有限，若有小伙伴对该部分理论很感兴趣，可以移步翻阅相关文献：

 

[1] 张雄《有限元法基础》[M]
[2] Wilson. Incompatible displacement models[M]
[3] Taylor.A non‐conforming element for stress analysis[J].