JFM：气体注入液体横流引起的通气空泡界面不稳定性
一、绪论
通过喷孔的横向喷流和正交来流之间的相互作用已得到广泛研究，因为它与各种工程应用有关，例如燃烧中的流体混合；气膜冷却、减阻和污染物扩散。关于单相JICF问题的全面文献综述见Mahesh（2013）。然而，由于横流和射流的流体相不同，多相JICFs表现出更加复杂的流体力学特征和界面现象。在目前的研究中，我们的重点在于了解通气空泡中的不稳定性以及从气体注射到液体横流中触发这种不稳定性的机制。
人们一致认为，典型的单相JICF具有射流剪切层涡、马蹄形涡、尾涡、反向旋转涡对（CVP）和发卡涡等流动结构。这些流动结构已根据其形态、空间分布和形成机制进行了分类。围绕喷流界面并从喷孔延伸的剪切层涡流归因于开尔文-亥姆霍兹不稳定性。在明显的剪切梯度的驱动下，这种不稳定性沿着界面自主增长。射流上游马蹄形涡流的形成源于局部横流中不利的压力梯度和近壁边界层的分离。虽然尾随着喷流的尾涡与圆柱后的尾涡相似，但它们的形成机制却完全不同。前者的涡量源于壁面边界层，而后者源于环绕圆柱体的剪切流。CVP是JICF时间平均流量中最大的结构。它起源于喷孔的近场区，并延伸到偏转射流的远端。尽管不同文献中关于CVP的生成机制仍存在一些矛盾，但鉴于CVP在多相JICF背景下的有限相关性，本研究不打算涵盖该问题。最后，发卡涡系主要在低速比r=Uj/U∞<1时形成。在这种情况下，Uj表示平均射流速度，U∞表示横流速度。这种情况类似于受到强烈外部扰动的平面边界层的旁路转捩。
本研究的目的是对不同条件下气体向下注入液体横流产生的流型进行分类，并揭示触发界面不稳定性的机制。本文的其余部分内容如下。数值模型和实验装置在第2章中介绍，而详细的验证试验在附录中介绍。空腔类型的分类和相关的流动特性在第3章中讨论。在第4章中研究了导致空腔不稳定性的机制。结束语见第5章。
二、研究方法
2.1 数值模型
图1所示的示意图说明了模拟中采用的数值模型。建立一个参考系，其x、y、z轴分别对应于流向、展向和垂直于墙壁的方向。上边界由直径为D、长度为Lp的圆形注射管的防滑壁和孔口组成。这个孔的中心作为参考系的原点。厚度为Δ0的边界层位于入口边界。除非另有说明，边界层的速度分布遵循1/7幂定律，即U(z)=U∞（z/Δ0）1/7。气体在管道入口处以平均速度Uj注入管道。在底部边界应用自由滑动条件，出口由诺依曼速度边界条件和狄利克雷压力边界条件规定，考虑重力引起的静压分布。
图一：近场计算装置示意图，带有无滑移顶壁、滑移底壁、横流入口和出口边界以及气体注入入口。这里，Qv和D分别表示气体体积流量和喷射器的喷孔直径，U∞和Δ0分别表示入口处的自由流速度和边界层厚度。入口处的边界层厚度Δ0定义为顶壁和局部流向速度满足u=0.99U∞的位置之间的垂直位移。计算域的大小为Lx×Ly×Lz=1.2m×1.0m×0.5m。
表1：当前数值模拟中每种情况的物理条件和无量纲参数
表1总结了本文给出的11个数值案例的流动条件，研究了管道直径D、横流速度U∞、喷流速度Uj和边界层厚度Δ0的影响。物理流动条件的变化导致无量纲参数的相应变化，即动量通量比、横流雷诺数、喷流雷诺数和弗劳德数Fr。气体和液体的密度分别为ρj=1.2kg m3和ρ∞=1.0×103kg m3。此外，模拟中采用了气体和液体的运动粘度:νj=1.5×105m2s-1和ν∞=1.0×106 m2s-1。表面张力系数取为σ=0.07N·m-1。
数值模拟利用壁适应局部涡流模型（Nicoud&Ducros 1999），流体体积法（Hirt&Nichols 1981）和六面体单元的自适应网格细化（AMR）方案（Berger&Colella 1989）的内置算法，在有限体积法的框架内对复杂的多相流进行高保真建模。选择有界中心差分方案和一阶欧拉隐式方案进行时空离散化。采用SIMPLE（压力联方程的半隐式方法）算法（Patankar & Spalding 1972）的迭代方式求解连续性方程和不可压缩的Naiver-Stokes方程：
其中波浪号表示相对于子网格刻度的过滤量，流体属性取决于液体α的体积分数。此外，粘性应力张量分别由已解析涡和未解析涡产生。最后一项表示表面张力的贡献。最后，相位传输由平流方程确定：
计算域的尺寸为Lx×Ly×Lz=1.2m×1.0m×0.5m。参考Mäkiharju等在可比动量通量比下对两相JICF的数值和实验研究，认为其大小足以完全发展腔流。长度Lp=2D的通气管位于横流入口边界下游0.2m处，其中厚度为Δ0的边界层的速度剖面在入口处指定。特征长度D0=10mm用于归一化空间坐标。对防滑壁进行初步的网格细化，特别是管道内部和孔口附近的区域。此外，AMR在气液界面周围被激活，以准确捕获空腔的形态。附录中对本数值模型进行了全面验证，表明最小网格大小xmin=0.1D和Courant数Cr<1足以获得准确和收敛的结果。
2.2 实验设施和方法
实验在配备通气系统的空化水洞中进行，如图2所示。测试部分的外形尺寸为600mm，正方形横截面为100mm×100mm。所有测试均在常温（≈20℃）和大气压（≈105Pa）下进行。因此，实验中流体的密度和粘度与数值对应值大致相同。水洞中还包括脱气系统，以减轻先前注入的气泡对测试部分的影响。通气系统由空气压缩机、压力罐、数字流量计和带收缩段的可切换气体注入管组成。与Mäkiharju 等采用的静止水池中的拖曳模型相比，对于直径为D=5、10和20mm的注入管，我们有限的试验段的边界限制将非常突出。因此，本研究采用D=1和2mm进行实验测试，而D对流态和特性的影响将通过实验和数值两种方式进行研究。
图2：实验装置示意图
使用配备Tokina 100 mm F2.8镜头的高速摄像机（Photron AX200），以每秒6000帧的速度和1024×672像素的分辨率从侧面和顶部视图捕获空腔形态。背光和前照灯LED照明模块的位置分别在捕捉空腔形态的侧面和顶部视图时具有最佳清晰度。为了便于数值和实验结果的比较，来流速度U∞在0.5m/s和4m/s之间变化，射流速度Uj在4m/s至418m/s之间变化。表2列出了与本研究中所有实验测试相关的无量纲参数的变化范围。
表2：实验测试的物理和无量纲参数
此外，PIV还获得了孔口上游边界层的速度分布图。我们实验中使用的颗粒的平均直径约为13nm，对应于O（10−2）至O（10−3）范围内的斯托克斯数。因此，颗粒可以反映流体运动，误差低于1%。Beamtech EMER-532-20 产生的波长为532nm的绿色激光从水洞测试段的底部引入，以照亮流过中心x-z平面的粒子。我们利用了PIVlab 2.5.4中内置的快速傅里叶变换窗口变形的多通道互相关方法。使用四种审讯窗口尺寸，即64×64像素、32×32像素以及16×16像素和12×12像素，重叠率为50%。给定高速相机图像的空间分辨率为0.03mm像素-1，并且最小分析窗口，速度场可以解析为0.18mm，从而能够精确描绘边界层轮廓。
三、通气空泡流态
本节描述了通气空泡的四种不同流态和三种过渡流态，其特点是其拓扑和界面特征，如表3所示。基于综合实验结果，将这些流态归类在Uj-U∞参数空间内。此外，基于数值结果，我们对混合特性、时间平均场和振荡频谱进行了定量分析，以加深对空泡不稳定性的理解。
表3：通气空泡的四种不同流动状态和三种过渡状态的缩写
3.1流态分类
如图3所示，根据通气空泡的界面特性确定了四种不同的流态。分叉空泡（BC）流态的特点是将气穴划分为两个独立的分支，它们之间几乎没有剩余气体。相比之下，气穴在连续空泡（CC）状态下通常保持完整。正如Mäkiharju等所描述的那样，这两种状态分别与Λ型和Δ型空腔一致。在气泡羽流（BP）范围内，气体射流的界面发生显着变形，最终碎裂成湍流泡沫状气泡。浮力在BP状态中起的作用相对较小，气体逸出的近场现象类似于倒置的多相JICF的现象。最后，半球形空腔间歇性地从孔口分离，产生穿过边界壁的一致离散气泡（DB）序列。这一观察结果与Marshall中记录的情景一致。
图3：通过数值模拟从侧面和平面图获得的四种状态下的典型瞬时空腔拓扑结构：（a）分叉空泡（BC，案例1）;（b）连续空泡（CC，案例2）;（c）气泡羽流（BP，案例3）;（d）离散气泡（DB，案例4）。
图4显示了不同流态的通气空泡中心平面上的界面特征。尽管通气空泡在BC和CC状态中表现出一些不稳定性，但界面扰动通常沿着腔体的时间平均边界发展和传播，如图4（a，b）中的黑色实线所示。相比之下，BC状态下的空泡比CC状态下的空泡更厚，这是由于穿透深度的增加而产生的动量比更高。如图4（c）所示，BP系统最突出的界面特征是液滴夹带在通气空泡内，以及腔体在背风侧界面坍塌导致的气泡散射。图4（d）表明，DB状态下的射流在孔口下游的近场处从颈部被挤断，在那里发生周期性气泡脱落。
图4：气体体积分数在中心平面上的分布，对应于图3所示的四种流态（算例1-4）。
黑色实线表示BC和CC体系中空腔的时间平均边界。
图5绘制了U∞–Uj空间中D=1和2mm的流态。DB、CC、BC和BP4种流态依次出现，横向来流速度的射流速率增加范围为0.5m/s至4m/s。边界曲线通常铺设在过渡区域，即DB-TR、CC-TR和BC-TR，这是由于通气空泡的流态过渡的超临界性质。拟合曲线的指数函数形式为y=A1eA2x。用于拟合曲线的数据点取自每个过渡状态中两个极限点的平均值，U∞=0.5、0.75、1、2、3和4m/s的上下射流速度点。表4列出了D=1和2mm时拟合曲线的系数及其各自的决定系数。在政权图的背景中，描绘了动量通量比的对数log(J)的等值线，范围从−2到2，区间增量为 1。通常，对于U∞<1，流动状态受J的严重影响：当J<0.1时出现DB状态，而BP状态仅在J>10时出现。在U∞>1时，临界射流速率非线性增加，导致定义流态边界的J值逐渐减小。尽管在不同孔口直径处形成的相同流态的通气空泡在几何上具有相似性，但腔拓扑的缩放关系相当复杂，并且可能取决于多个无量纲参数。D=1和D=2mm的状态分布比较表明，随着孔口尺寸的扩大，描绘CC-TR和BC-TR流动过渡的关键曲线在U∞-Uj空间中表现出明显的左移。对于不同孔口直径的体系边界，DB-TR和BC-TR跃迁曲线对应的指数系数A2相似。然而，对于与CC-TR相对应的指数系数A2=0.06（D=2mm）明显大于A1=0.02（D=1mm），导致BC流态的参数范围较大，CC流态的参数范围较窄。造成这种差异的原因可能是，尽管具有不同孔口尺寸的两相JICF在几何上相似，但浮力在更大规模的流动中起着更明显的作用，导致分叉腔的出现更早。尽管Mäkiharju等提出的缩放定律描绘了BC体系中的空腔特征，但必须评估一组扩展的物理参数以理解表面张力的影响，特别是分别涉及DB和BP体系中的气泡分离和空腔崩解。因此，引入韦伯数来计算惯性力与表面张力之间的比值。因此，表面张力在小尺度和低速流动中起着重要作用，在多相JICF中主导气泡和液滴的形成。
图5：通过对（a）D=1mm和（b）D=2mm孔口直径的实验观察，对气体注入液体横流的流态进行分类。在这里，BD-TR、CC-TR和BC-TR表示相邻流态之间的过渡状态。
表4：函数表达式y=A1eA2x的拟合过渡曲线的系数，如图5所示。这里，R2表示这些拟合曲线的决定系数。
图6显示了U∞=0.75、2和3m/s时，随着射流速率的增加，流态的转变。很明显，过渡流态中的通气空泡表现出相邻典型流态之间的中间状态。在DB-TR状态下，孔口附近的脉动类似于CC状态的脉动，但空泡会间歇性地被挤断，在下游形成离散的空泡。与典型BC状态中的流动不同，CC-TR状态中的空泡分叉间歇性地发生在相当不可预测的位置。最后，在BC-TR状态下，腔界面的不稳定性导致孔口附近小规模气泡的分离。但是，接口的完整性在下游分支上恢复。此外，通过比较相同动量通量比的腔体类型，研究了孔口直径对腔体拓扑结构的影响。如图7和3（a）所示，腔体状态经历了从DB-TR（D=1mm）到CC（D=2mm）的过渡，然后到CC-TR（D=5mm），最后到BC（D=10mm），随着扫描角的增加。以上观察结果表明，水垢效应对通气空泡的流态有显著影响。增加特征长度，即孔口直径，不仅会改变腔体的时间平均形状，还会影响界面不稳定性的演变。多相JICF的规模效应主要可归因于以下三个原因：（i）射流雷诺数的增加，导致界面处的湍流增强和相混合更强烈;（ii）韦伯数的增加，减弱了表面张力的影响，减少了离散气泡的形成;（iii）弗劳德数的减少，放大了浮力的作用，导致空泡界面更平坦，扫掠角度更高，有利于在浮力影响下在通气空泡中形成分叉。
图6：通过D=1mm的实验观察，比较了典型状态和过渡状态之间的瞬时空腔形态。
图7：数值模拟的瞬时空腔形态比较，动量通量比相同J=0.54，但孔口直径不同。
（a）D=1mm，算例5;（b）D=2mm，算例6;（c）D=5mm，算例7。
进一步研究了孔口上游的错流边界层对空腔演化的影响。如图8（a）所示，PIV系统测量孔口上游入口边界层的实际速度场。图8（b）表明，层流持续在U∞=0.75m/s，以便与Blasius速度剖面一致。另一方面，U∞=3m/s时的速度分布与1/7幂律的解析解一致，表明完全湍流状态。U∞=1和2m/s处的速度分布分散在两条解析曲线之间，表明层流和湍流之间的过渡状态。因此，在本实验试验中推断边界层厚度变化约为5mm。为了进一步分析空腔演化过程中的边界层厚度，将工况8和工况9的对应条件得到的平均速度分布分别用于入口边界，与工况4和工况3进行比较。通过比较图4（d）和图8（c），我们发现DB状态中的流动现象通常受Δ0的影响较小。相比之下，从图4（c）和图8（d）之间的比较中可以看出，在高J情况下，从BP到BC流态的微妙转变。这种观察到的变化可归因于错流与气体注入的通量比的变化，受孔口前缘的速度曲线的影响。这种通量比随着边界层厚度的增加而降低，导致强烈的气体渗透和更多的液滴夹带到射流的背风侧，如在BP状态下观察到的那样。
图8：从PIV结果中获得的孔口上游边界层剖面及其对空腔演化的影响。（a）（U∞，Uj）=（0.75m/s，4.0m/s）处的速度矢量场快照。（b）边界层的时间平均速度分布归一化，以便于与解析解进行比较，边界层厚度Δ0≈3.0、3.2、4.9和6.0mm，分别对应于实验1-4。表1详述了（c）情况8和（d）情况9的数值结果，其中从PIV测试中提取的精确速度曲线被用作入口边界条件。
3.2流态特点
下面将进一步分析典型情况下通气空泡的流动特性。图9显示了沿流向的一系列横截面处气体体积分数的时间平均分布。在BC状态下，腔体部分最初在x/D0=3处的孔口附近形成半圆形。从x/D0=11开始，界面曲线逐渐从抛物线样式变形为类似于“W”的形状，形成一个中心空心，最终在x/D0=30处分叉成两个分支。CC流态中空腔的发展通常类似于BC流态中的空腔，但空气层更薄。尽管中心有凹形界面，但空腔仍然连接。在BP状态下，横截面在x/D0=3处形成一个完整的圆，这是由于射流在高动量通量比下从壁上分离而产生的。随着能量的耗散和气泡羽流的分散，浮力使空腔更靠近壁，界面在x/D0>20处变得相对模糊。
图9：从数值模拟中获得的空腔沿流向的时间平均轮廓
（a）工况1，BC;（b）工况2，CC；（c）工况3，BP
不同状态的两相混合特性与ALDR的工程应用具有重要意义。因此，我们提出了一个无量纲量化度量Cg/√Sg来衡量混合程度，其中Sg表示空腔的截面积，Cg表示相应流向切片上空泡的界面周长。混合程度的量化是一个非量纲参数，可确保几何相似性不变性。如图10所示，与其他情况相比，工况3（BP流态）的两相混合程度明显增强，这归因于孔口附近明显的界面不稳定性和泡沫气泡的出现。另一方面，工况1（BC流态）和工况2（CC流态）的混合特性具有相似的变化趋势，但前者在x/D0<20时表现出略大于后者的值，因为前缘腔界面上的脉动相对较强，在孔口附近明显，然后在下游减弱。
图10：根据算例1-3的数值结果，量化了沿流向方向的两相混合范围，其中Sg和Cg分别表示流向截面上空泡的面积和界面周长
图11：（a）–（d）算例1-4数值结果的射流入口处气体压力的时间历史，其中水平轴和垂直轴已归一化t*=tU∞/D和p*=p/（ρ∞U∞2）。（e）射流入口压力f*=fD/u∞归一化频率的谱图，其中振幅已归一化为Ap(平均)=(Ap−p(平均)）/σ。其中，p(平均)表示时间平均压力，σ表示标准偏差。虚线标记每种情况下最大振幅的主频率。
图11（a–d）比较了算例1–4中喷口处的压力脉动轨迹。对于工况1，瞬时压力表现出很强的周期性，这与近场腔表面的流态膨胀现象相对应。算例2的压力脉动幅度和主频率相对较低，表明与BC状态相比，CC状态下的空泡界面稳定性更高。相反，在算例3中观察到压力的强烈和快速波动，图11（e）所示的频谱表明压力振荡没有明显的主频率。最后，单个气泡的间歇性连续产生和分离导致了规则且温和的压力振荡，尽管它们在所讨论的案例中表现出最小的振幅。
图12.（a-c）比较算例1-3中切片z/D0=−0.3处静压p(平均)sta（上侧）和平面动态压力p(平均)dyn（下侧）的时间平均分布。平均空泡界面和流线也用黑白实线表示。（d-f）平均跨度涡度ω(平均)y的相应等值线以及切片处的空腔界面 y/D0=0。
图12（a–c）显示了靠近上壁的空腔界面周围的时间平均平面动压和静压分布。在这三种情况下，孔口上游的静压区域明显高，而空泡的背流侧则观察到低静压。这种特征流动模式类似于悬崖体周围的流动模式，因为来自孔口的垂直射流阻碍了横向流并产生逆压力梯度，由于射流的穿透深度较深，这在算例3中尤为明显。由p(平均)dyn=0.5ρ（u2x+u2y）得到的平面动压分布表示平行于x–y平面的流动强度。在通气空泡内，由于在横流的侵入作用下，射流速度从垂直方向偏转，算例2的平面动压超过了其他情况。如图12（d）所示，正涡度出现在前缘，而负涡度出现在孔口的背流侧。在图12（e）中，由于CC状态下横流和射流之间的剪切相互作用较温和，因此双层结构不太明显。除了涡度振幅较高外，图12（f）还呈现出三层结构，显示出背流侧的折返流。图12（f）除了显示涡度幅度增加外，还呈现出三层结构，表明背风侧的折返流。
图13算例4在tU∞/D0值为（a）11.1、（b）14.1和（c）14.7时，泡内静压的瞬时轮廓。灰度表示气泡表面的曲率。右侧还显示了实验观测中气泡形成的相应时刻的俯视图，其动画也在下文的视频中看到。
考虑到表面张力在低韦伯数下小规模气泡的形成和分离中的关键作用，多相JICF在DB体系中的独特流动特性需要专门讨论（Zhang 等，2023）。如图13（a）所示，并且提供了相应的动画，空泡在第一瞬间开始增长，当时可以观察到A点颈部隔离的两个区域之间的静压差异。当界面曲率在A点达到峰值时，表面张力施加的力往往会切断气泡。然而，孔口附近区域内的高压抵 制了这一过程，促进了此时光滑表面的恢复（图13b）。同时，错流施加的阻力导致气泡伸长，并在B点产生新的界面压痕。此时，气泡的内部压力无法抵消B点的表面张力，空泡最终在图13（c）中出现的第三个瞬间被捏断。分离出的气泡通过错流迅速向下游输送，随着上述过程的重复，产生一系列不同的气泡。
由于与ALDR的实际应用相关，BC流态中的流动引起了极大的关注（Lee 2015; Choi, Lai & Lee 2016; Mäkiharju et al. 2017;Mäkiharju & Ceccio 2018）。尽管在以往的数值和实验研究中普遍观察到分叉腔的流动不稳定性，但其特征和生成机理尚未得到全面讨论。在本节中，我们对BC流态中的近场界面不稳定性进行了定性和定量分析。利用DMD识别界面波动的主要模式，并引入理论模型来阐明界面不稳定的诱导机制，并解释近场膨化现象。
4.1界面不稳定的特点
图14：（a）工况1、（b）工况8和（c）工况9的瞬时腔界面，轮廓由速度大小着色
图14显示了Rej变化的BC状态下通气空泡的流动结构，以及界面上的速度分布。与Mäkiharju等报告的结果类似，孔口附近的空泡表现出“膨化”行为，即在从射流入口测量的压力脉动频率相同的情况下，界面的周期性振荡和卷起。值得注意的是，空泡在中央膨化界面上保持的速度幅度高于分支。随着喷射速率的增加，空泡获得更长、更厚的膨化区域，并失去周期性。在达到最大厚度后，它开始分裂成两个分支，在本研究的数值和实验结果中，界面处的小波浪结构都可以辨别出来，如图15和动画所示。
图15：（a）BC体系中的界面不稳定性和（b）分支上波浪形结构的特写视图的实验观察，D=0.002m，Uj=127.33m/s，U∞=2m/s。
图16：在（a）工况1、（b）工况8和（c）工况9的一系列时间时刻，y/D0=0切片处的瞬时界面，并监控界面上拉格朗日点的运动。
图16阐明了对空腔演变的更多见解，该图说明了近场不稳定性在BC流态中三种情况下的传播。除了描绘不同时刻的中央界面外，还监测了几个拉格朗日点，以提供更全面的空腔演化视图。结果表明，近场膨化自主过程包括前缘的错流侵入和界面的下游卷起。界面变形在最大厚度处最明显，然后在空腔闭合处中等。此外，将通气速率从5.00×10−3m3/s提高到1.5×10−2m3/s显著加剧了泡内的不稳定性。除了明显的两相界面变形外，界面处两相之间的增强混合进一步导致液滴从表面滞留在内部空泡内，拉格朗日点的轨迹证明了这一点。图17所示，壁面法向速度沿时间平均界面的空间和时间分布等值线定量揭示了相应情况下腔体界面的波动。速度振荡从大约x/D0=−1开始，略微领先于x/D0=−0.5的射流前缘。壁法向速度的传播模式类似于经典行波的传播模式，当它远离原点时，振幅会逐渐衰减。随着通气速率的增加，速度振荡的规律性变差，主要频率特征保持相对恒定。
图17：（a）工况1、（b）工况8和（c）工况9时，切片y/D0=0处壁法向速度的空间和时间分布
图18：在算例1的腔体界面上的不同位置测量的壁法向速度的局部频谱，其中频率归一化为f*=fD/U∞
图18显示了壁法向速度的局部频谱比较，概述了BC状态下典型流动中不同空腔位置界面波动的普遍频率和幅度。在孔口的前缘，主频率f*=fD/U∞的振幅超过0.4，而其他相邻峰的振幅也相当高。据推测，观察到的多频特征可能源于孔口内的射流压力、侵入的横流和动态接触线上的表面张力之间的复杂相互作用。f*=0.33处的主频比前缘下游位置的其他峰值更突出。一般来说，随着与孔口的距离延长，膨化区域内界面波动的幅度和普遍频率都会逐渐下降。然而，在将近场区域与分支进行比较时，前导频率存在明显差异，从f*=0.27-0.41急剧下降到f*=0.09-0.11。前导频率的这种转变暗示了不稳定模式的转变，这将在下面详细讨论。
4.2. DMD定量分析
DMD方法用于辨别支配频率和相应的全局特征模态，这些特征模态决定了通气腔的不稳定性。按照Schmid的方法，可以使用奇异值分解将具有恒定时间间隔vNi={v1，v2，v3,...,vN}的存储流场序列分解为DMD模式φi的线性组合：
其中Aj是每个DMD模式φj的振幅，特征值λj的实部和虚部决定了相应模态的增长速率和时间频率。符号r表示DMD模式的截断顺序。在本小节中，我们对算例1的数值数据进行了DMD分析，其中包括以一致时间增量t=0.5ms拍摄的200个流场快照。我们的灵敏度测试证实，增加工况的数量或频率不会影响我们感兴趣的主要DMD模式。为了通过DMD研究孔口附近的流动不稳定性，我们仅使用受限子域−10<x/D0<40内的流场数据，从而提高了计算效率并显着降低了内存需求。
图19：（a）增长速率和（b）工况1的DMD模式的幅度的频谱，标记的大小和颜色阴影表示值的大小，以便于比较
图19显示了（a）增长速率和（b）从工况1的DMD获得的振幅的频谱。在f*= 0.42和f*= 0.11的光谱中，主要的特征模态表现出最明显的增长率和振幅，但零频率时间平均模式除外。通过将结果与图18所示的局部频谱进行比较，我们发现前者与孔口前缘附近的峰值频率密切相关，而后者与下游分支表面的波动频率一致。图 20 中显示的 DMD 模式提取了在补充电影 2 中观察到的最突出的界面不稳定性的基础流动结构。触发膨化现象的第一种扰动模式的特点是短波长和高频扰动，由环形波结构封装。该模式主要集中在孔口附近，并在传播到位置x/D0≈18后迅速衰减。相比之下，长波长和低频模式遍布整个腔体表面，最终达到观察到的最高振幅。在空腔的分支表面上，扰动波显示出相对于横流的可辨别的倾斜度，而不是垂直方向。这种倾斜归因于空泡内表面相对于其外表面的更快速度。
图 20.体积分数场时间序列中两种主要DMD模式的等值面：（a）非零频率f*= 0.42时的最大增长率;（b）非零频率f*= 0.11时的最大振幅。
4.3. 孔口附近膨化现象的发生机制
通气空泡的周期性脉动，称为“膨化”现象，不仅在本文讨论的平面 JICF 的情况下，而且在涉及旋转体通气的研究中观察到（Gan et al. 2022）和通气超空泡（Jiang, Shao & Hong 2018）。因此，这种膨化现象代表了多相流中普遍存在但未被充分研究的不稳定性，它源于气体注入和液体流动之间的相互作用。与平行剪切流中的开尔文-亥姆霍兹失稳性相反，空泡前缘附近的界面脉动主要由气体射流和液体横流之间的局部和非平行相互作用触发。
图21：示意图说明了孔口附近膨胀现象的界面不稳定性的发展，角落处的轮廓显示了相应时刻的静压。
图21显示了一系列阐明潜在机制的示意图，这些示意图由子图中显示的静压等值线证明了这一点，并结合了腔内的动态和静压以及各个监测点的液体横流总压力的比较，如图22所示。在第一个瞬间（图21a），气体注入的阻塞最小，腔体前缘的曲率较低。然而，由于平稳的气体注入，最低的静压不足以抵消错流的侵入力。另一方面，进入的液体流对气腔的阻塞（图21b）导致监测点的静压增加，并伴随着动态压力的相应下降，因为气体注入的总压力基本保持不变。在完全侵入时（图21c），静压达到峰值，而动态压力降至最低，使界面在过冲压力下反弹。界面恢复速度随着过冲压力的减小而减慢（图21d）。当负压再次出现并再次达到其极值时，向外变形的过程停止，从而恢复前面讨论的初始状态，并启动所描述的序列的新循环。还值得注意的是，前导界面从无障碍到完全侵入迅速发展，而其恢复占据了振荡期的大部分时间。
图22：（a）比较（x，y，z）/D0=（0.0，0.0，−0.5）处腔内的瞬时动压pdyn,g=ρju2/2 和静压psta,g，以及液体横流总压ptot,l=psta,l+ρ∞u2/2，略高于腔体处（x，y，z）/D0=（−1.0，0.0，−0.5），这是算例1中获得的。
（b）一个时期不同阶段的压力变化草图。
根据独立膨胀原理，通过忽略表面张力和粘性力，可以通过简化的一维方程定性地预测空化气泡的演化过程：
其中S表示具有法线到轨迹线的腔体截面的瞬时面积，h是沿从孔口开始的轨迹的曲线坐标系，k是受空化数影响的系数，p是腔体界面上的压力差。通过比较图21所示的界面变形和监测点相应的瞬时压力，我们发现腔体变形与界面上的压力差变化之间存在相位滞后。滞后现象类似于Paryshev所描述的（4.2）预测的空化气泡的行为。因此，我们可以推断，膨化不稳定性主要源于孔口附近气体的静压与前缘横流的停滞压力之间的周期性振荡不平衡。
图23：相对于不同Uj和U∞，孔口附近膨化行为的领先频率，这是从D=1mm的实验结果中获得的。
图23显示了四种不同错流速度的近场区域腔脉动前导频率相对于射流速度Uj的变化：U∞=1、2、3和4m/s。结果来自对D=1mm的实验结果的高速摄影对胶片的直接观察。提供通过直接测量而不是无量纲斯特劳哈尔数确定的物理频率，以促进对所涉及的物理机制的讨论。一般脉动频率随Uj的增加而迅速增加，然后逐渐降低。横流U∞=1–4m/s的最高频率从437Hz增加到823Hz。根据图5（a）所示的流动状态，当射流速度相对较低时，通气空泡处于DB状态，相应的频率表示单个气泡的分离频率。在DB状态下，形成新的球形气泡所需的时间主要由通气速率（或射流速度）决定，因此脉动频率在很大程度上不受横流速度的影响。气体射流的总压力随着射流速度的增加而增加，增强了通气气泡的稳定性。气泡的分离过程在一次单一脉动后从立即切断演变为切断（如图13所示），在几次脉动后发展到切断，最终，它逐渐转变为在CC流态中观察到的动力学。过渡过程类似于Rek等中的过程，尽管他们的重点是针对平坦表面的向上气体注入。鉴于孔口脉动的周期远短于气泡生长所需的时间，CC状态下腔体不稳定的主导频率远大于DB状态下的主导频率。射流速度的进一步增加导致空泡总厚度的增加，同时提高注射管内或孔口附近的静压。如图24所示，并在下文的视频中演示，流动模式从CC演变为BC，然后演变为BP，同时射流速度从92.73m/s增加到442.24m/s。当横流侵入下降时，空腔波动的幅度增强，反之，频率降低。此外，我们还观察到，随着错流速度的增加，膨化的物理频率也随之增加。这种现象归因于流动特征时间尺度的反比例减少，表示为t0=D/U∞，随着U∞的增加而减小。
图24：在U∞=2m/s、D=1mm时Uj增加的空泡拓扑发育快照，显示较高Uj值下的膨胀不稳定性。
五、结论
在这项研究中，我们通过数值和实验研究了向下注入液体错流引起的通气空泡的流动特性和界面不稳定性。根据两种不同孔口直径的实验数据，对通气腔的四种不同状态及其过渡状态进行了分类，这些状态映射在横流速度和射流速度跨越的参数空间上。该研究利用定性和定量方法分析了脉动的局部和全局频谱特征，彻底检查了通气空泡的界面不稳定性。此外，还建立了一个理论框架来阐明在孔口附近观察到的膨化现象的潜在机制。主要结论总结如下。
（i）离散气泡（DB）、连续腔（CC）、分叉腔（BC）和气泡羽流（BP）这4种典型流态通过Uj的增加而发生连续转变，每个流态边界的临界值随着U∞的增加而非线性增加。
（ii）缩放效应对空腔动力学和界面稳定性产生深远影响，因为特征长度尺度的波动会改变雷诺数、韦伯数和弗劳德数。这些尺寸变化控制着湍流强度、气泡分离和影响空腔分岔的引力。
（iii）分别在高频和低频捕获两种主要的DMD模式。第一种以短波长和高频扰动为特征的扰动模式具有环状波结构，触发了膨胀现象，其增长速率最高。相比之下，由长波长和低频定义的次级模式以最大振幅渗透整个空泡表面。
（iv）腔体前缘附近的界面脉动主要由气体射流和液体错流之间的局部非平行流动引起。提出了一个概念模型来阐明动力学过程，该动力学过程主要受孔口附近气体静压与前缘错流停滞压力之间的周期性振荡不平衡控制。
附录：模型验证
通过比较时间平均射流空泡剖面和表5中列出的设置，验证了网格分辨率的收敛性。AMR的最小单元尺寸决定了气液界面的分辨率，而对于边界层，我们采用最小单元尺寸x=0.02D，D是不同情况的孔口直径。自适应网格尺寸对射流入口压力频率分布的影响如图25（a）所示，这表明具有中等网格分辨率的仿真在腔体界面上达到了可接受的一致性。然而，为了更好地解决非定常流动结构，我们仍然在整篇论文中选择了AMR的精细分辨率。此外，图25（b）中比较了使用三个Courant数获得的射流入口处气体压力的频谱，在Cr=0.32和Cr=0.64之间，主导处的振幅差异在2%以内，表明Cr=0.32处的时间步长收敛。
表5：工况1的网格收敛研究数值参数
图25：工况1的验证测试：（a）通过比较z=0时空泡界面的时间平均剖面来验证网格收敛;（b）通过比较射流入口处气体压力的频谱来验证收敛Courant数。
图26：实验结果和当前数值结果之间的空泡拓扑结构比较：（a）Mäkiharju等（2017）的实验观察结果和算例1的当前数值可视化;（b）根据Lee（2015）的实验数据和本模拟φ的扫描角，误差线表示φ的拟合误差。
此外，本模拟的结果与Mäkiharju等的实验结果进行了验证。图26（a）将BC流态（算例1）中的空泡形态与Mäkiharju等的实验观察结果进行了比较。在上述网格分辨率下，利用本数值模型可以很好地捕捉到近场夹断现象和气支上的波浪形结构。图26（b）显示了随着射流速度的增加，扫掠角的变化比较，这表明目前的数值结果与Lee的实验结果的测量数据非常吻合。图27进一步验证了我们的实验与算例5的数值结果之间的瞬时腔拓扑结构，这也显示出良好的一致性。此外，我们通过局部频谱分析捕获了近场脉动结构的主频率 f=750Hz，这与我们的实验测量值f=748Hz非常一致。
图27：本实验得到的空腔特写图与D=1mm、U∞=3m/s、Uj=63.7m/s的数值结果之间的瞬时空泡拓扑结构比较。
