有限元在工程项目中的应用-应力集中与应力奇异

本文摘要（由AI生成）：

本文主要介绍了有限元分析在工程项目中的应用，并通过一个T型对接板计算算例来说明应力集中和应力奇异的区别。有限元分析是一种思维，通过将未知场量进行有限个单元细分，对每个单元使用同一种近似准测，从而逼近和近似地解决实际问题。在工程项目中，有限元分析可以帮助工程师更好地理解结构的应力分布和变形情况，从而优化设计。在T型对接板计算算例中，作者通过比较不同类型网格以及网格尺寸对结果的影响，得出了六面体网格相对于四面体网格在计算精度和单元数量方面的优势。同时，作者还指出了应力奇异和应力集中的区别，并强调了在模型中消除应力奇异的重要性。最后，作者展望了有限元分析在游乐设备计算中的应用前景。

笔者按：本人从读研究生时，开始接触有限元分析工作，距今已有十余年，同时还是仿真论坛版块的版主，写篇文章，表达下对有限元在工程项目中应用的个人理解。欢迎众亲提出不同看法或讨论。

1 有限元的概念

有限元，即 Finite Element，是一种思维。这种思维非常重要，是数学中极限、逼近和近似的完美应用。我们说，理工科可以帮助理解这个世界构成的实质，有限元正是一个很好的代表。它的意思是将一个未知的场量（比如一个物体的变形、温度、压力、应力、流速、磁场）进行有限个单元细分，然后对每个单元使用同一种近似准测（比如对位移进行某种方式的近似插值）。在一个细小单元内，未知量的近似是有理有据、即这样做是能接近真实值的，所以，当把这个单元尽量缩小，对整个物体分成尽量多的有限（虽不是无限，但仍需很多）个单元时，通过边界控制即能求解出真实的未知场量分布。

一个结构，只要知道了它的边界（即约束方式）和受力，即可求出整体结构应力分布。看似复杂的世界，竟可通过一处的值和边界就可确定它其中的所有量！是不是很神奇和不可思议？世界的本质就是这个简单和完美。而这一切的完美，都来源于数学。而这种完美和规则，究竟是不是注定？我们不得而知，这就是哲学家的问题了。

不管项目多复杂，有限元分析都是从几何模型开始的，在用数值近似方法，将模型离散化，也就是划分网格，即将几何体剖分成相对小且形状简单的实体，称为单元。最后利用求解器把单个单元的简单解总合成对整个模型的近似解，最后得到期望的结果（变形或应力）。

2  T型对接板计算算例

为了说明应力集中和应力奇异的区别，下面利用一个例子简单说明。

两块板一个T型对接焊缝，两块板的尺寸如图1所示，竖直的板固定，水平板板端部受

到1000N的向下压力，承受的弯矩 。

由于是全熔透焊缝，两块板可以合为一体进行仿真计算，载荷与约束如图2所示。

在载荷和约束不变的情况下，通过不同的网格尺寸，计算零件的最大应力值。

为了比较不同类型网格以及网格尺寸对结果的影响，分别比四面体网格（无圆角）、六面体网格（无圆角）、六面体网格（带圆角）在主体网格单元尺寸分别是10mm、5mm、3mm和1mm等算例进行计算。

四面体网格（无圆角）的计算结果如图3所示。

六面体网格（无圆角）的计算结果如图4所示。

六面体网格（带圆角）的计算结果如图5所示（圆角半径为10mm）。

对计算结果进行汇总对比如表1所示：

若与理论计算120MPa的误差在5%是可接受的应力值，由表1可知，相对于板厚为10mm，对四面体网格，单元尺寸达到3mm时，结果可接受，对六面体，单元尺寸达到5mm，就可接受，即对同一类型的分析，较粗糙的六面体单元尺寸可达到较精细的四面体单元尺寸达到的计算结果精度。在相同精度范围内，六面体单元数量（800）远小于四面体的单元数量（32768）。

若用较粗糙的四面体网格，厚度方向仅划分一层单元，计算结果（105.7MPa）与理论值的误差达到（12%），并且是负误差，如果用这样的应力值去评价设备的安全系数，会使设备处于危险之中（实际部件可能达不到安全系数的要求，但经过粗糙的计算，却符合安全系数要求）。

对计算结果用曲线图表示，如图6所示：

由图6可知，随着网格尺寸的减小，单元数目的增加，不带圆角的算例的计算结果持续增大，这样的应力值是发散的，当网格继续小时，应力值还会继续增大。而带圆角的计算结果几乎没变，并且和理论计算结果相符合。

由于连接区域应力奇异,不收敛所以网格越细应力就会越大, 也就是说不带圆角模型的计算结果是不可信的。

3 应力奇异与应力集中

如何去评价有限元应力计算结果，讨论这个问题前先区别两个重要的概念：应力集中和应力奇异。应力集中是结构本身的特点，是指几何变化明显的地方的应力往往非常大，如缺口、孔洞、沟槽、拐角附近，以及有刚性约束处。应力集中处的应力是真实存在的应力，它与有限元无关，只是借助有限元工具求解出来。

而应力奇异是由结构的尖角或者边界约束（含接触）而产生，这样的点称为“奇点”，是有限元理论的固有缺陷。严格来说，只要结构存在尖角（即表面一阶不可导），那就会产生应力奇点，这是无可避免的。当然，现实世界中绝对尖角的东西是不存在的（无论看起来多么尖，它一定有个非常小的圆弧），这正是我们建模时把一些绝对尖角的特征去掉的原因。

应力奇异性指受力体由于几何关系，在求解应力函数的时候出现的应力无穷大。比如常见的集中载荷区域。当把载荷作用于一个点（没有面积）时，应力无限大（力除以零面积）。应力奇异主要是由于结构的突变造成的，在这样的情况下会出现网格越细分，应力值越发散，越大。导致应力结果发散的原因并不是有限元模型本身的错误，而是有限元模型基于一个错误的数学模型。由于任何物体都是有一定的强度的，现实中的应力不可能出现应力无穷大。在实际结构中是不会出现应力奇异的。所以应力奇异解是错误解。

根据弹性理论，在尖角处的应力是无穷大，由于离散化的误差，有限元的计算结果不会产生无穷大的结果，这一离散化的误差掩盖了建模时的错误。合理的应力结果，是通过合理的网格加密得到的网格无关解。如果应力结果是完全依赖网格大小变化时，这样的结果是无意义的。

应力集中是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。应力奇异并不是指应力集中：具有一个“有限大小的解”，在应力集中问题中，细化网格后总会得到一个收敛的结果。而应力奇异点，其是“应力集中的卑鄙且丑陋的姐妹”。不管你的网格多么精细，总会存在越来越高的应力！

4 结论

由以上分析可知，应力集中的解是可以收敛的，网格越小，但会趋于一个真实值；而应力奇异的解是不收敛的，网格越小，应力值会无限增大。应力集中不是应力奇异，应力奇异一定应力集中。那如何处理应力集中和应力奇异呢？应力集中的值是真实值，是需要特别关注的；应力奇异的值可忽略（根据圣维南原理，不合理的计算结果仅能影响局部）。

解决应力奇异有两种办法解决：

1， 如果不重要，忽略此处计算结果；

2， 如果重要，不忽略此处倒角，把模型做的精细一点,该倒角的倒角,有过渡的都做出来细分网格，一般就不会有应力奇异性了。

然而在做游乐设施计算的工程项目时，如果用实体单元构件的模型（大多从三维软件中直接调用），就会出现大量的拐角部位，这些拐角部位如果不进行圆角处理，计算的结果就是应力奇异解，应力奇异解会随着网格的加密而增大，用一个较大的应力值去评价结构，会得到一个相对保守的结论，似乎这样的计算结果可以说的过去，毕竟我们验算游乐设备的目的是为了保证结构的安全。但是，网格加密会造成单元数目增加，计算量会非常庞大，现实中一些游乐设备企业的计算，网格勾画的很粗糙，得出的有限元结果通常会小于游乐设备工作状态下的实际的应力值，这样会使本来不安全的游乐设备，在计算书上呈现出符合安全的结论。

故对游乐设备的有限元计算，特别是利用实体单元构件模型的计算，建议利用六面体单元，并且保证厚度上至少有两层网格，或者用壳单元和梁单元，另外应进行网格密度的考察，至少在结果上网格单元一并呈现出来，便于对计算结果有个相对的考察。

5 展望

通过本文的分析，基本上否决了游乐设备计算过程中，粗糙的四面体网格的计算结果。去评价设备的安全系数。那么对于焊缝的分析该如何评价呢？是否可以取远离拐角处（无圆角）一定距离的应力值作为焊缝评价应力呢？将在下一次文章中给大家做分享。

下图是本人用实体单元计算游乐设施时的图片，以供参考：