有限元基础理论及数值实现过程 | 多点约束的施加（MPC）

▲图1

如图1所示为某大桥的主桁架。主桁架的上弦杆与两个斜腹杆的中心线不交于一点，而是相隔一定距离，如果忽略它将导致误差。由于结点1和2都连在刚性很大的结点块上，如图2所示，因此可假定它们的线位移和转角都相等。

▲图2

如图3所示的张弦梁结构，钢索和撑杆都是铰接于主梁。在有限元模型中，梁、杆、索属于不同的单元类型，虽然这些结点具有相同的节点线位移，但截面转角不相同，此时我们可以在该处定义两个坐标一样的结点，然后指定这两个结点的线位移相等。

▲图3

由上述结构案例可知，两个自由度之间有某种约束，不失一般性，我们可以把它写成

考虑约束条件    下的势能泛函极值问题

用罚函数将有约束问题转化为无约束问题。引入一个很大的正参数    ，构造新的泛函

令

得到新的平衡方程

例1

如图4所示，有一根忽略质量的刚性杆，它的一端铰接，其上还连接有根钢质杆和一根铝质杆，其右端作用有外力    。采用两个单元进行建模，求1、2两点的位移。

▲图4

用两个单元对该问题进行建模，单元节点信息见下表

节点3、4处的边界条件为    和    。因为刚性杆保持直线，    和    的相对关系如图5所示，根据几何关系，得到相关节点的约束如下

▲图5

单元①刚度矩阵为

单元②刚度矩阵为

整体刚度矩阵为

接下来修正矩阵    。选取一个远大于刚度系数的正数    ，由于    ，将    加到    中    和    的位置上。

然后考虑(5)中给出的多点约束方程，注意到    则由式(4)得到修正后的刚度矩阵为

修正后的整体等效节点荷载矩阵

例2

▲图6

如图6所示的结构，中间的铰接点不能看作拥有两个自由度的一个节点。因为连续梁的挠度函数在铰接点这里虽然连续但不可导，即在节点两边，不同单元的转角是不一样的。

▲图7

所以铰接点要建立两个节点，如图7所示。这样一来自由度1和自由度3对应的线位移必须相等，就需要建立约束关系    选取一个远大于刚度系数的正数    ，修正矩阵    .由(1)知，    。修正后的刚度矩阵为

数值验证参考:罚单元