参变量变分原理(三)

参变量变分原理(1)

参变量变分原理(二)

应用参变量变分原理解多折点本构模型。

▲图1

如图1所示的杆件本构模型，有三种受力状态：

•      时，杆件的刚度为      

•      时，杆件的刚度为      

•      时，杆件的刚度为      

杆件的本构关系可描述为

令

▲图2

   和    的物理意义如图2所示，显然有    

(1)的本构关系统一为

由(3)得

定义

其中

则本构方程可统一归结为下列问题

引人松弛变量    ，有

算例

图3所示结构,杆2(CB)是完全弹性的,且刚度为    ，杆1(AC)具有多刚度,其本构关系分别如图4和图5所示.其中，    ，以及    

▲图3

▲图4 单元1本构

▲图5  单元2本构

设    点位移为    ，结构的势能为

对    进行变分运算,得

代入(7)得

以表格形式表示为表1。于是可利用线性互补问题    算法对不同的外力    值进行求解，所得结果如表2。

▲表1

由表2的结果可以看到,当    时结构处于    作用区;当    时,非线性杆处于    工作区;当    时则进入    作用区,亦即以    .