应用参变量变分原理解多折点本构模型。
▲图1
如图1所示的杆件本构模型,有三种受力状态:
时,杆件的刚度为
时,杆件的刚度为
时,杆件的刚度为
杆件的本构关系可描述为
令
▲图2
和 的物理意义如图2所示,显然有
(1)的本构关系统一为
由(3)得
定义
其中
则本构方程可统一归结为下列问题
引人松弛变量 ,有
图3所示结构,杆2(CB)是完全弹性的,且刚度为 ,杆1(AC)具有多刚度,其本构关系分别如图4和图5所示.其中, ,以及
▲图3
▲图4 单元1本构
▲图5 单元2本构
设 点位移为 ,结构的势能为
对 进行变分运算,得
代入(7)得
以表格形式表示为表1。于是可利用线性互补问题 算法对不同的外力 值进行求解,所得结果如表2。
v1 | v2 | λ1 | λ2 | z0 | q | |
---|---|---|---|---|---|---|
v1 | 1 | 0 | -300 | -100 | -1 | 100-0.5F |
v2 | 0 | 1 | -100 | -125 | -1 | 110-0.5F |
▲表1
由表2的结果可以看到,当 时结构处于 作用区;当 时,非线性杆处于 工作区;当 时则进入 作用区,亦即以 .
F | x | λ1 | λ2 |
---|---|---|---|
200 | 0.5 | 0.00 | 0.00 |
220 | 0.567 | 0.033 | 0.00 |
230 | 0.6 | 0.053 | 0.00 |
300 | 0.918 | 0.082 | 0.255 |
Lemke算法见参变量变分原理(二)