电动车动力总成悬置系统的可靠性分析方法

电动汽车动力总成悬置系统（Powertrain Mount⁃ing System，PMS）通常包括驱动电机、减速器和差速器一体化设计组成的动力总成及若干个悬置元件.受到材料老化、制造装配和边界条件等因素的影响，电动车PMS 不可避免地存在着各种不确定因素［1］.基于不确定性的分析与设计能有效地提高PMS的工作可靠性.

近年来，汽车PMS 的不确定性分析与优化设计受到广大研究者的关注.当系统参数样本数据充足时，可基于概率模型［2］采用具有精确概率分布的概率变量描述系统不确定参数.Qatu 等［3］ 和Sirafi 等［4］基于概率模型研究了PMS 的稳健性和NVH 性能.谢展等［5］将悬置刚度参数视为概率变量，采用多目标优化方法，对汽车PMS 进行了稳健性设计.Wu 等［6］结合转矩-滚动轴解耦理论，利用六西格玛概率模型对汽车PMS 的解耦设计进行了稳健性优化.当系统参数信息匮乏和不完整时，可基于非概率模型［7］对PMS 不确定性问题进行研究.常见的非概率模型有区间模型、模糊模型、证据理论模型等.Xie 等［8］将PMS 悬置的刚度参数视为区间变量，将区间模型和Chebyshev 多项式相结合求解了系统固有频率和能量分布的上下界响应.Wu ［9-10］将系统参数定义为区间变量，基于区间模型对PMS 的固有特性进行了区间可靠性和稳健性优化.吕辉等［11］运用模糊模型处理含模糊和主观信息的系统参数，对PMS 进行了模糊可靠性分析和优化设计.近期，Lü 等［12］利用证据理论描述含不精确信息的PMS 参数，结合摄动中心差分法对PMS进行了可靠性和稳健性优化.

值得注意的是，上述研究工作均以系统不确定参数相互独立的假设为前提.然而，在工程实际中，不确定参数往往存在一定的相关性［13］.例如，电动车PMS 广泛采用的橡胶悬置的三向刚度往往是相互耦合的，同一悬置的刚度参数之间必然具有一定的相关性.针对PMS不确定参数存在相关性的问题，吕辉等［14-15］先后引入多椭球凸模型和多维平行六面体模型有效处理了PMS 参数的相关性，并开展了相应的系统不确定性响应分析.

总体来说，国内外关于汽车PMS 的设计研究已取得很好的成果.目前仍存在一些关键问题需要进一步解决.例如，现有的一些研究虽然有效处理了系统参数存在不精确信息的情形，却未同时计及参数相关性的影响；另一些研究虽然考虑了参数相关性的影响，但在此基础上仅开展了PMS 不确定性响应分析的初步研究，尚未深入开展系统可靠性的求解研究.

针对上述问题，本文开展了考虑参数不精确信息和相关性的电动车PMS可靠性分析研究.首先，采用证据理论处理电动车PMS 参数存在的不精确信息，将不确定参数表示为证据变量；然后，引入相关系数矩阵描述不确定参数间的相关性，建立含相关性的证据变量模型；接着，利用仿射变换和标准化技术将相关的证据变量转化为标准的独立证据变量，进而求解PMS固有特性满足设计要求的可信度与似真度，并用于表征系统的可靠性；最后，通过数值算例验证了方法的有效性.

1.1 固有频率计算

电动车PMS 常采用三点橡胶悬置的布置形式［16］.建立电动车PMS动力学模型时，通常将电机总成视为6 自由度刚体，悬置简化为三向正交的弹性元件.图1 为某电动车PMS 的6 自由度模型［17］，图中G0-XYZ 表示质心坐标系，Ei-uiviwi表示第i 个悬置坐标系，i=1，2，3.

电动车PMS的自由振动微分方程为：

由式（1）可求得PMS的6阶固有频率fj= ωj/(2π)及相应的系统振型为φj=[φ1j，φ2j，…，φ6j]T，j=1，2，…，6.

1.2 解耦率计算

系统以第j 阶固有频率fj 振动时，分布到第k 个广义坐标上的能量分布（Energy Distribution，ED）为：

式中：φkj为φj的第k 个分量；Mkl为质量矩阵M 第k 行第l 列的元素.系统第j 阶模态下的能量解耦率定义为

2.1 含不精确信息的PMS参数

工程中获得的PMS 参数信息有时是不精确的，即难以逐点统计参数的分布特性.基于证据理论，可以引入证据变量描述含不精确信息的PMS 不确定参数.

2.2 证据理论

识别框架（Frame of Discernment，FD）、基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）和可信度（Belief，Bel）、似真度（Plausibility，Pl）为证据理论的重要组成内容［18］.其中FD 为证据理论中基本命题的集 合，表示为Θ.幂集2Θ 表示所有可能子集的集 合.每个子集对应一个命题，BPA 定义了2Θ 中每个命题的置信度.

命题B的BPA m（B）满足

命题B 的总置信度可用概率区间［PBel（B），PPl（B）］表征，其中PBel（B）和PPl（B）分别为：

2.3 证据变量

含不精确信息的不确定参数可采用证据变量描述.表1 给出了一种证据变量的表达形式，其中α0 为证据变量α的名义值，k1，k2，…，km为焦元系数.

3.1 参数相关性描述

工程中，电动车PMS参数往往还存在相关性，即系统参数可能同时是不精确且存在相关性的.此时，系统参数可采用带有相关性的证据变量描述.

假设采用n维相关证据变量α=[α1，α2，…，αn]T描述PMS参数，变量αi的FD为

上述多维证据变量可标准化为 β=[β1，β2，…，βn]T，转化过程如下：

如图2 所示，正交坐标系O-WiWj上，任意两个带有样本数据的证据变量βi 和βj，假设存在一个面积最小的菱形可以包含全部样本，则可认为该菱形域为证据变量βi和βj的联合FD.基于菱形FD，βi和βj的相关性可用如下相关系数表示

式中：a 表示菱形位于坐标系第一象限上的半轴长度；b表示菱形位于坐标系第二象限上的半轴长度；θ表示菱形相关角；χij ∈[-1，1]，当χij=0 时，βi 和βj 相互独立；当χij >0时，βi和βj正相关；当χij <0时，βi和βj负相关.

3.2 参数相关性处理

3.2.1 仿射变换

如图2所示的二维问题，建立仿射坐标系O-ViVj，其坐标轴平行于菱形边线.用Vi，Vj 表示单位向量，可通过下式得到仿射坐标系［18］.

式中：V=[Vi，Vj]T；W=[Wi，Wj]T；E为仿射变换矩阵，

仿射坐标系中，Vi和Vj相互独立，即有

将式（11）代入式（13），得：

因为Vi，Vj 平行于菱形边线，所以有eii= ejj，eij=eji，整理式（14）得到变换矩阵：

平方可得：

证据变量βi 和βj 可由式（11）转化为仿射坐标系的变量εi和εj

式中：ε=[ε1，ε2]T.

基于区间运算，εi 的取值范围可通过求解式（17）获得，

因此，通过缩放矩阵Γα、仿射变换矩阵E和缩放矩阵Gε，相关的证据变量αi 和αj 可转化为标准不相关变量ηi和ηj.

上述二维问题可拓展到多维问题.对于PMS 中的n维相关证据变量α=[α1，α2，…，αn]T，基于式（8）得到n 维标准证据变量β=[β1，β2，…，βn]T.通过计算n(n -1)/2个变量相关系数χij，得到相关系数矩阵

然后，可由式（16）求得仿射变换矩阵E，并进行ε= Eβ 转换，式中ε=[ε1，ε2，…，εn]T 为多维不相关证据变量，E2= χ.

接着，通过缩放矩阵Gε 将ε 转化为多维标准不相关证据变量η=[η1，η2，…，ηn]T.

上述转化过程可总结如下

其中，α的FD表示为：

式中：I=[1，1，…，1]T.

3.2.2 构建联合焦元及其BPA

如图4（b）所示，任意两变量ηi 和ηj 的相关系数χij=0，则η的联合焦元ds可通过笛卡儿积求得.

3.3 考虑参数不精确信息和相关性的PMS 可靠性分析

采用n 维相关证据变量α=[α1，α2，…，αn]T 描述电动车PMS 参数时，系统的固有特性函数可记为f= f(α).设计中通常要求f(α)满足限定要求，统一表示为f(α) ≥f0，f0为临界值.

结合可靠性分析，可将系统固有特性响应的可靠域表示为Freliable={α |f(α) ≥f0}.以f(α) ≥f0 为命题，其可信度和似真度分别为Bel( f(α) ≥f0) 和Pl( f(α) ≥f0).它们分别表示含参数不精确信息和相关性的电动车PMS固有特性满足设计要求的最小和最大概率，其计算方法如下：

为求解式（26），需判断是否满足ds ⊆Freliable 或ds ∩Freliable=∅.由于α可转化为η，故f(α)可转化为

引入参数γ，综合不同γ 值下的Bel( f(α) - f0 ≥γ)和Pl( f(α) - f0 ≥γ)求解结果，可以构造累积可信度函数（Cumulative Belief Function，CBF）和累积似真度函数（Cumulative Plausibility Function，CPF）.γ=0 时的CBF 和CPF 值即分别为Bel( f(α) ≥f0)和Pl( f(α) ≥f0)的值.考虑参数不精确信息和相关性的电动车PMS固有特性可靠性分析步骤可总结如图5所示.

4.1 分析模型

以图6 所示的某电动车PMS 为例.沿竖直方向（Bounce 方向）和绕定转子中心线的旋转方向（Roll方向）的振动对电动车驾乘舒适性影响最大，故本文重点研究这两个方向的固有特性.以fB 和dB 分别表示Bounce 方向的固有频率和解耦率，fR 和dR 分别表示Roll 方向的固有频率和解耦率.电动车PMS 设计中，一般要求固有频率满足fB，lower ≤fB ≤fB，upper 和fR，lower ≤fR ≤fR，upper，解耦率满足dB ≥dB，lower 和dR ≥dR，lower.系统的质量、转动惯量和惯性积如表2 所示；表3分别为各橡胶悬置的初始刚度以及安装位置.

工程中，电动车PMS 的悬置刚度参数可能同时具有不精确信息和相关性.引入带有相关性的证据变量α 描述系统刚度参数.结合该PMS 模型的参数信息，α 的取值范围（即FD）取为[0.9αC，1.1αC]，其中αC 表示由参数中点值所构成的向量，取值如表3所示.α的焦元及其相应的BPA取值如表4所示.

4.2 PMS可靠性分析

系统固有频率和解耦率满足设计要求的可靠性，可具体转化为以下6 个命题的可信度和似真度进行表征：命题①fB(α) ≥fB，lower；命题②-fB(α) ≥-fB，upper；命题③ fR(α) ≥fR，lower；④ 命 题-fR(α) ≥-fR，upper；命题⑤dB(α) ≥dB，lower；命题⑥dR(α) ≥dR，lower.

为方便分析，假设各悬置三向刚度参数的相关系数均为χ.给定初始设计要求为：fB，lower=9.7 Hz，fB，upper=10.0 Hz，fR，lower=26Hz，fR，upper=27Hz，dB，lower=52%和dR，lower=80%.为充分分析具有不精确信息和相关性的悬置刚度参数对电动车PMS固有特性的影响，结合该PMS模型的参数信息，假设各悬置三向刚度参数的相关系数为[0，0.1，…，0.9] .当χ=0与χ=0.6 时，根据本文提出的方法求得系统固有特性满足设计要求的CBF和CPF结果如图7所示.

由图7 可知，随γ 值增大，各命题可靠性概率区间边界值构成的CBF 与CPF 均从0 开始变大直到稳定为1，或者是由1 变为0.受不精确信息的影响，同一γ 值处的CPF 值大于CBF 值；以γp 和γb 分别表示曲线取相同概率值时，CPF 和CBF 曲线所对应的γ值.可以看出，对于命题①③⑤⑥，γp < γb，而对于命题②和④，-γp <-γb.这两种差异性表明，参数的不精确信息会导致各命题的似真度对结果做出风险预测，而可信度会对结果做出保守预测.此外.图7（c）和图7（d）存在着明显的阶梯，说明参数的不精确信息对命题③和命题④的影响更为明显.

从图7 还可以看出，相关性系数χ=0 与χ=0.6所对应的CBF 与CPF 曲线存在明显的交点γCBF 和γCPF.当γ < γCBF 或γ < γCPF 时，同一γ 值处，对于命题①③⑤⑥，χ=0.6对应的可靠性概率区间边界值Bel与Pl 大于χ=0 对应的Bel 与Pl，即相应命题满足f(α) - f0 ≥γ 的概率增大；而对于命题②和命题④，χ=0.6 对应的可靠性概率区间边界值Bel 与Pl 小于χ=0 对应的Bel 与Pl，即对应命题相应命题满足f(α) - f0 ≥γ 的概率变小.当γ > γCBF 或γ > γCPF，χ=0.6 对应的可靠性概率区间边界值Bel 与Pl 小于χ=0 对应的Bel 与Pl，即相应命题满足f(α) - f0 ≥γ 的概率变小；对于命题②和命题④，χ=0.6对应的可靠性概率区间边界值Bel 与Pl 大于χ=0 对应的Bel 与Pl，即相应命题满足f(α) - f0 ≥γ的概率增大.

当γ=0，即f0 为各命题的设计上限或下限时，上述两种相关性情形下的可靠性概率区间［PBel( f(α) ≥f0)，PPl( f(α) ≥f0)］变化如表5 所示.表中概率区间上下界变化率定义为：

式中：σu和σl分别为概率区间上下界变化率.

从表5 可以看出，变量独立与相关情形下，PMS的可靠性概率区间均没有达到［100%，100%］，说明各命题均不满足设计要求.当χ=0 变为χ=0.6 时，命题①的概率区间下界从85.26%提升到87.93%，变化了3.13%；命题②的概率区间下界从10.36%降低到8.43%，变化了-18.56%；命题③的概率区间下界从46.69%降低到26.67%，变化了-42.87%；命题④的概率区间下界从70% 增加到87.44%，变化了24.92%；命题⑤的概率区间下界从62.71%增加到87.06%，变化了38.81%；命题⑥的概率区间上界从74.65%降低到64.09%，变化了-14.14%.由上述分析可知，变量之间的相关性对系统可靠性概率区间上下界具有比较显著的影响.忽略系统参数相关性将给PMS可靠性分析带来较大误差.

4.3 不同相关系数的影响分析

当描述系统参数的相关系数χ从0变化到0.8时（即χ=0，0.2，0.4，0.6，0.8），各命题的CBF 和CPF 如图8所示.

从图8可以看出，χ的变化对Bounce方向固有频率的可靠性概率区间影响较小，而对Roll 方向固有频率以及两个方向解耦率的概率区间有较大的影响.Roll方向固有频率的CBF与CPF曲线存在一个明显的交点.在曲线交点左侧，同一γ 处，命题③的Bel和Pl 随着χ 的增大而增大，即命题③满足fR(α) -fR，lower ≥γ 的概率随着χ 的增大而增大；而对于命题④，Bel 和Pl 随着χ 的增大而减小，即命题④满足-fR(α) + fupper ≥γ（即fR(α) ≤fupper）的概率随着χ的增大而减小.在曲线交点右侧，命题③的Bel 和Pl 随着χ 的增大而减小，即命题③满足fR(α) - fR，lower ≥γ 的概率随着χ 的增大而减小；而对于命题④，Bel 和Pl随着χ 的增大而增大，即命题④满足-fR(α) + fupper ≥γ（即fR(α) ≤fupper）的概率随着χ 的增大而增大.对于解耦率，同一γ处，可靠性概率区间下界Bel随着χ的增大而增大，上界Pl 随着χ 的增大而减小.上述分析充分表明，证据变量的相关性会严重影响PMS的可靠性分析结果，随着变量间相关性的增大，影响愈加明显.

当γ=0 时，各命题的可靠性随相关系数的变化情况如图9所示.

从图9 可以看出，当相关系数由χ=0 逐渐变为χ=0.9 时，命题①②③④和命题⑤的概率区间上界保持为100%不变；命题①概率区间下界从85.26%增加到88.58%；命题②概率区间下界由10.36%略微下降为8.14%；命题③概率区间下界从46.69%降低到24.92%；命题④概率区间下界从70% 增加到92.03%；命题⑤的概率区间下界从62.72%增加到94.48%；命题⑥概率区间上界从74.64% 降低到62%，下界保持为0 不变.可以看出相关系数变化会引起系统可靠性概率区间产生较大变化，这种变化可能体现为可靠性增大，也可能体现为可靠性降低.

为更直观地分析相关系数变化对不同γ 处可靠性的影响，以命题③为例，图10给出了γ=-0.8，γ=0，γ=0.5 和γ=1.2 处，可靠性概率区间随相关系数变化图.

可以看出γ=-0.8 时，概率区间下界Bel 随着相关系数增大而增大，上界Pl 保持为100%；γ=0 时，概率区间下界Bel随着相关系数增大而减小，上界Pl保持为100%；γ=0.5 时，概率区间下界Bel 保持为0，上界Pl随着相关系数增大而增大；γ=1.2时，概率区间下界Bel 保持为0，上界Pl 随着相关系数增大而减小.从这些分析结果可以看出，系统参数的不精确信息和相关性会显著地影响各γ 处的可靠性分析结果.

计算效率方面，在基本配置为Inte（R）Core（TM）i5-5200U CPU @ 2.20 GHz 2.20 GHz 的计算机上，同一相关系数下本文6个命题的计算总时间仅为89 s，能有效满足PMS分析与优化设计要求.

1）采用相关的证据变量能有效地描述电动车PMS 参数的不精确信息与相关性，通过可靠性概率区间能有效地对PMS进行可靠性分析.

2）参数的不精确信息对系统的可靠性分析有较大影响，尤其是Roll方向固有频率的可靠性.

3）参数相关性对PMS 固有特性有显著影响，随着参数相关性的增大，系统的可靠性区间出现明显变化，忽略参数的相关性可能导致较大分析误差.