用四边形面积坐标构造平面单元

四边形面积坐标(一)

四边形面积坐标(二)

四边形面积坐标构造平面单元。

单元的位移场

▲图1

如图1所示是一个四结点四边形膜元，单元结点位移向量    含8个自由度。

设单元的位移场为    的二次完备式

其中    和    各含6个待定系数

▲图2

由图2可知，每个结点处的两个坐标分量    中，总有一个坐标分量为零。

利用上面四个方程，可将    用    及    表示。由上式，可以解得    如下:

由此可得

其中    和    是内参。令    ，(5)可写成

其中四个形函数分别为:

两个内参形函数分别为:

同理可得

把(6)和(9)合并后，可写成:

其中

单元的应变场

单元应变场为:

(10)代入(12)

其中

利用导数的公式

可求得    和    

以及    和    

单元的刚度矩阵

单元的势能包括弹性体的应变能和外载荷的势能

其中，    表示面力.

由(12)得

(18)代入 (17)

其中    是弹性矩阵。记

在(19)中，分别对    和    作变分运算得到

由(21-1)得

(22)代入(21-2)得

记

(23)就是熟悉的

求(20)中的积分时,可直接利用面积坐标的积分公式,求出显式表达式。也可将坐标    变换成等参坐标    后，按高斯数值积分求出:

其中，    是单元厚度,    雅可比行列式。

本文这种消去参数的思路，还有

有限元| 梁单元自由度释放

GUYAN缩减法求自振频率