有限元 | 梁的弹性稳定分析(一)

▲图1

图1为受分布载荷作用的简支梁，该问题平衡微分方程的如下

该平衡方程建立在未变形时，即忽略了变形的影响。

▲图2

如图2所示，简支梁在横向均布荷载    作用下产生的弯矩为    ，挠度为    。轴向荷载F会在    的基础上产生力矩    

如果    为拉力，则    会减小，则最终弯矩范围

如果    为压力，则    会增加，则最终弯矩范围

可见细长梁在轴向力作用下的弯曲，有必要检查变形之后的平衡(即使变形很小)。

▲图3

如图3所示，细长梁上的任一微段    ,    是其变形之前的位置,    为变形后的位置。该微段的受力分析如图4所示

▲图4

由    得

式中

(2)代入(1)得

对于充分小的    ，有    ，则(3)可写成

注意到    ，(4)可写成

关于B点的力矩平衡，有

注意到

由于    ，(6)可以写成

忽略(7)的高阶项，有

(8)代入(5)有

(9)就是考虑轴向荷载时梁的平衡微分方程。