定积分的精确定义

本文摘要（由AI生成）：17世纪晚期，微积分学科形成，牛顿和莱布尼兹被公认为奠基者，统一了解法并确立了明确的计算步骤。然而，微积分基础问题——无穷小量是否为零——引发了长达一个半世纪的争论，导致第二次数学危机。牛顿和莱布尼兹的解释存在矛盾，无法解决此问题。英国大主教贝克莱等学者批判微积分缺乏逻辑基础，微积分遭遇群攻。法国数学家达朗贝尔力挺微积分，坚信其正确性，并鼓励人们继续前行。在科研路上，我们应保持信心，相信向前进会看到希望。 在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。 无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限 量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限 量过渡到无穷小量的桥梁。 英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。 当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。英国皇家学会的礼堂里，数学家罗尔针对微积分一处致命错误指着微积分创立者牛顿的鼻子大声质问。牛顿面红耳赤、哑口无言。人们发现另一位微积分创立者莱布尼茨也犯了同样的错误。初创的微积分遭遇数学界群起而攻。此时只有一位数学家力挺微积分，法国数学家达朗贝尔说，牛顿，莱布尼茨可能错了，但微积分不会错，虽然我现在也解释不了这个问题，但请相信：“向前进，我们一定会看到希望！”正是这句话，给了人们信心，成功度过第二次数学危机。谨此送给科研路上的朋友：向前进，我们一定会看到希望！来源：数值分析与有限元编程