数值积分| 辛普森公式

辛普森积分法是一种用抛物线近似函数曲线来求定积分数值解的方法。把积分区间等分成若干段，对被积函数在每一段上使用辛普森公式，根据其在每一段的两端和中点处的取值近似为抛物线，逐段积分后加起来，即得到原定积分的数值解。

如图1所示，二次抛物线y=A+Bx+Cx^2(A,B,C为常数)上有三个点(h,yL), (0,yM),(h,yR),则

在区间[-h，h]积分

对于一个区间[a， b]，将其n等分, x0 = a，x1 = a+h，x2 = a + 2h，..., xn = a + nh = b，其中h =(b - a)/n。现已知各点的函数值yj = f (xj ) ,由上述公式可得

以上各式相加得到

这就是辛普森公式。

如图2所示，对于复杂函数，可以在划分好区间之后，通过插值的办法将其改写为抛物线形式：

其中E(x)是误差。

各区间积分，累加，同样可得到辛普森公式。

[算例1]

用辛普森公式计算函数y=5x^4在区间[0，2]的积分(n=4) 。

精确值是32

[算例2]

用辛普森公式计算函数y=1/x在区间[1，2]的积分。比较n=4，n=8，n=16时的误差 。

误差分别为：