屈曲(失稳)公式的推导过程，以及弹性失稳的共性！

    屈曲失效(失稳)是工程结构的重要失效方式之一。压杆是进行失稳分析的重要力学模型之一。

    最近本号VIP学员提出一个问题，如何证明失稳临界公式计算的失稳属于弹性失稳？

    这里介绍下背景知识，失稳可以分为弹性失稳和弹塑性失稳，也可以分为整体失稳和局部失稳。

    弹性失稳是指结构发生失稳时，材料的绝大部分区域处于弹性变形阶段(塑性区域极小，所有可以忽略)。弹塑性失稳则不然。

    对于一个具体模型的失稳，证明是否为弹性失稳的方法很简单，本号学员自己完全有能力解决。

    1）当模型符合失稳公式的应用条件，根据公式计算失稳载荷。在仿真中对应特征值屈曲分析。

    2）施加失稳载荷，忽略失稳变形，获得静力学分析下的临界应力。在仿真中对应静力学分析。

    3）当失稳载荷导致的临界应力小于材料的屈服强度，则表明模型的失稳属于弹性失稳，反之则属于弹塑性失稳；

    这里有两点可以展开来说。

    1）失稳公式的应用条件是怎么来的？需要回顾失稳公式的推导过程。

    2）模型发生弹性失稳有没有共性？符合哪种条件的模型发生的失稳一定为弹性失稳？

    推导挠曲线方程的三个基本假设：1）对称弯曲(沿xy平面对称)；2）线弹性分析；3）忽略剪切变形对挠度的影响。挠曲线微分方程如下所示：

    基于小变形假设，以上方程可以进一步简化。

    力和力矩的关系：

    挠曲线微分方程：

    假设：

    挠曲线微分方程的另一种形式：

    已知两端的挠度为0，由此可得：

    可得失稳临界压力的计算公式：

    最小失稳临界压力即为压杆的临界载荷：

    根据以上推导过程，可知失稳临界公式基于四个假设：

    1）对称弯曲；

    2）线弹性；

    3）忽略剪力；

    4）小变形；

    这里有三点可以展开来说。

    1）公式推导之前就假设了存在挠度w，这个挠度w起初并非是压力F引起的，公式探讨的是一种平衡临界关系，当压力大于临界压力，平衡关系会被打破，即发生失稳。

    2）如果没有事先假设存在挠度w，笔直的杆件在纵向压力下不存在弯矩，不会产生弯曲，但现实中杆件不可能是笔直的，纵向压力也可能存在偏心，所以现实杆件会发生失稳。

    3）以上推导过程非常巧妙，先假设存在挠度w，这样才能存在弯矩，然后再假设这个挠度w是由压力F引起的，然后再探讨这种临界平衡关系。这种思路值得细细品味。

    其它约束条件的杆件的失稳临界公式的推导也非常巧妙，但整体思路是相似的。这里只展示结论。

    临界应力等于临界压力除以截面积：

    假设：

    临界应力的另一种形式：

    假设：

    临界应力的另一种形式：

    失稳临界公式的推导是基于线弹性分析，即当临界应力小于比例极限(工程上可以认为是屈服强度)，失稳临界公式才能应用。

    所以不论什么样截面和长度的杆件，发生的失稳属于弹性失稳的共性如下：